看选修4-5第38页.

　　思路：令A=a1²+a2²+……+an²,B=b1²+b2²+……+bn²,C=a1b1+a2b2+……+anbn

　　作函数f（x）=Ax²+2Cx+B

　　如果能证明函数f（x）恒大于等于0,即f（x）的判别式Δ≤0,就得到4C²≤4AB,即柯西不等式得证.

　　而f（x）=（a1²x²+2a1b1x+b1²）+（a2²x²+2a2b2x+b2²）+……+（an²x²+2anbnx+bn²）

　　=（a1x+b1）²+（a2x+b2）²+……+（anx+bn）²

　　≥0

　　取“=”的条件：a1=a2=……=an=0,或b1=b2=……=bn=0；

　　或存在常数x使aix+bi=0,i=1,2,……,n

　　下面是我自己想的.

　　方法一：左边=（a1²+a2²+……+an²）（b1²+b2²+……+bn²）

　　右边=（a1b1+a2b2+……+anbn）²

　　分别展开,通项分别为

　　左边=ai²bi²+ai²bj²+aj²bi²+aj²bj²,1≤i＜j≤n

　　右边=ai²bi²+2aibiajbj+aj²bj²,1≤i＜j≤n

　　左边﹣右边=（aibj）²﹣2（aibj）（ajbi）+（ajbj）²=（aibj﹣ajbi）²≥0

　　取“=”的条件为ai=0（即aj=0）或bi=0（即bj=0）或ai：bi=aj：bj=const（即ai=kbi）

　　方法二：数学归纳法