全等三角形的证明一直是数学中的一朵奇葩,它不仅是考试中的一个重要考点,而且可以培养学生初步的证明问题的能力.而且,全等三角形问题的难度非常灵活,下面笔者介绍一种分析全等的方法,可以解决较复杂的全等三角形证明问题.

　　利用已知线段锁定三角形,缩小证明范围证明三角形全等.

　　例1：如下图所示.BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高,点P在BD的延长线上,BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB,求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ.

　　分析：第一问由于有对应边的关系CQ=AB,进而猜想△QCA≌△ABP,由于BD⊥AC,CE⊥AB,可得∠ABD=∠ACE,即可得出结论.第二问在第一问的基础上,证明∠PAQ=90°即可.

　　证明：（1）∵BD⊥AC,CE⊥AB（已知）,

　　∴∠ABD+∠BAC=90°,∠ACE+∠BAC=90°（垂直定义）,

　　∴∠ABD=∠ACE（等量代换）,

　　又∵BP=AC,CQ=AB（已知）,

　　∴△ABP≌△QCA（SAS）,

　　∴AP=AQ（全等三角形对应边相等）.

　　（2）由（1）可得∠CAQ=∠P（全等三角形对应角相等）,

　　∵BD⊥AC（已知）,即∠P+∠CAP=90°（三角形内角和等于180°）,

　　∴∠CAQ+∠CAP=90°（等量代换）,即∠QAP=90°,

　　∴AP⊥AQ（垂直定义）.

　　说明：本题充分体现用已知线段缩小寻找范围的优点,同学们可以迅速锁定要证明的三角形全等是△QCA≌△ABP,做到又快又准.

　　例2：已知,△ABC为等边三角形,点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作菱形ADEF,使∠DAF=60°,连接CF.

　　（1）如图1,当点D在边BC上时,

　　①求证：∠ADB=∠AFC；②请直接判断结论∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立；

　　（2）如图2,当点D在边BC的延长线上时,其他条件不变,结论∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立?请写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的数量关系,并写出证明过程；

　　（3）如图3,当点D在边CB的延长线上时,且点A、F分别在直线BC的异侧,其他条件不变,请补全图形,并直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的等量关系.

　　分析：△ABC为等边三角形,隐含条件是AB=AC=BC,通过观察,发现AB和AC确定的两个三角形有可能全等,即∴△ABD≌△ACF,结合四边形ADEF是菱形的条件,迅速解出本题.

　　⑴①证明：∵△ABC为等边三角形,

　　∴AB=AC,∠BAC=60°

　　∵∠DAF=60°

　　∴∠BAC=∠DAF

　　∴∠BAD=∠CAF

　　∵四边形ADEF是菱形,∴AD=AF

　　如图4所示.

　　∴△ABD≌△ACF

　　∴∠ADB=∠AFC

　　②结论：∠AFC=∠ACB＋∠DAC成立．

　　⑵结论∠AFC=∠ACB＋∠DAC不成立．

　　∠AFC、,∠ACB、∠DAC之间的等量关系是

　　∠AFC=∠ACB－∠DAC（或这个等式的正确变式）

　　证明：∵△ABC为等边三角形

　　如图5所示.

　　∴AB=AC

　　∠BAC=60°

　　∵∠BAC=∠DAF

　　∴∠BAD=∠CAF

　　∵四边形ADEF是菱形

　　∴AD=AF．

　　∴△ABD≌△ACF

　　∴∠ADC=∠AFC

　　又∵∠ACB=∠ADC＋∠DAC,

　　∴∠AFC=∠ACB－∠DAC

　　⑶补全图形如图6所示.

　　∠AFC、∠ACB、∠DAC之间的等量关系是

　　∠AFC=2∠ACB－∠DAC

　　（或∠AFC＋∠DAC＋∠ACB=180°以及这两个等式的正确变式）

　　说明：本题有一定的难度,证明全等时不好找对应的条件,甚至连全等的三角形都不好确定,但利用线段相等很快锁定目标,大大提高了解题效率.

　　例3：如图,等边△ABC中,AO是∠BAC的角平分线,D为AO上一点,以CD为一边且在CD下方作等边△CDE,连接BE.

　　（1）求证：△ACD≌△BCE；

　　（2）延长BE至Q,P为BQ上一点,连接CP、CQ使CP=CQ=5,若BC=8时,求PQ的长．

　　如图7所示.

　　分析：第一问由△ABC是等边三角形,可得AC=BC,想到证明它们所在的三角形全等,即△ACD≌△BCE,结合△DCE是等边三角形,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°,又由∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°,即可证得∠ACD=∠BCE,可以方便的根据SAS,证得△ACD≌△BCE；

　　第二问首先过点C作CH⊥BQ于H,由等边三角形的性质,即可求得∠DAC=30°,则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的长.

　　（1）∵△ABC与△DCE是等边三角形,

　　∴AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°,

　　∴∠ACD=∠BCE,

　　∴△ACD≌△BCE（SAS）；

　　（2）过点C作CH⊥BQ于H,

　　∵△ABC是等边三角形,AO是角平分线,

　　∴∠DAC=30°,

　　∵△ACD≌△BCE,

　　∴∠QBC=∠DAC=30°,

　　∴CH=BC=×8=4,

　　∵PC=CQ=5,CH=4,

　　∴PH=QH=3,

　　∴PQ=6.

　　如图8所示.

　　说明：此题考查了全等三角形的判定与性质,等腰三角形、等边三角形以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强,图形较为复杂,结合利用线段相等锁定要证明全等的三角形,可以很快证出题目.

　　从以上几例可以看出,以后我们解决三角形全等问题时可以先找出线段相等的条件,然后结合图形找出想要证明全等的三角形,证出它们全等,往往可以起到事半功倍的效果,同学们可以尝试着用这种方法证明题目,提高自己的解题效率.