（1）首先要过点A'作A'D垂直于x轴，垂足为D，然后在直角△A′OD中通过解直角三角形可求出点A′的坐标．

　　（2）已知了C，A'，A三点的坐标，可用待定系数法求出二次函数的解析式．

　　（3）由于等腰三角形的腰和底不确定，因此要分情况讨论．

　　【解析】

　　（1）过点A'作A'D垂直于x轴，垂足为D，

　　则四边形OB'A'D为矩形．

　　在△A'DO中，A'D=OA'•sin∠A′OD=4×sin60°=2，OD=A'B'=AB=2，

　　∴点A'的坐标为（2，2）．

　　（2）∵C（0，4）在抛物线上，∴c=4，

　　∴y=ax2+bx+4．

　　∵A（4，0），A′（2，2）在抛物线y=ax2+bx+4上，

　　∴解之得：．

　　∴所求解析式为．

　　（3）①若以点O为直角顶点，由于OC=OA=4，点C在抛物线上，则点C（0，4）为满足条件的点．

　　②若以点A为直角顶点，则使△PAO为等腰直角三角形的点P的坐标应为（4，4）或（4，-4），经计算知；此两点不在抛物线上．

　　③若以点P为直角顶点，则使△PAO为等腰直角三角形的点P的坐标应为（2，2）或（2，-2），经计算知；此两点也不在抛物线上．

　　综上述在抛物线上只有一点P（0，4）使△OAP为等腰直角三角形．