其实,三重积分,就是把一重积分和二重积分的扩展

　　三重积分及其计算

　　一,三重积分的概念

　　将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域,被积函数推广到三元函数,就得到三重积分的定义

　　其中dv称为体积元,其它术语与二重积分相同

　　若极限存在,则称函数可积

　　若函数在闭区域上连续,则一定可积

　　由定义可知

　　三重积分与二重积分有着完全相同的性质

　　三重积分的物理背景

　　以f(x,y,z)为体密度的空间物体的质量

　　下面我们就借助于三重积分的物理背景来讨论其计算方法.

　　二,在直角坐标系中的计算法

　　如果我们用三族平面x=常数,y=常数,z=常数对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体

　　其体积为

　　故在直角坐标系下的面积元为

　　三重积分可写成

　　和二重积分类似,三重积分可化成三次积分进行计算

　　具体可分为先单后重和先重后单

　　①先单后重

　　——也称为先一后二,切条法(先z次y后x)

　　注意

　　用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三次积分.

　　化三次积分的步骤

　　⑴投影,得平面区域

　　⑵穿越法定限,穿入点—下限,穿出点—上限

　　对于二重积分,我们已经介绍过化为累次积分的方法

　　例1将

　　化成三次积分

　　其中为长方体,各边界面平行于坐标面

　　解

　　将投影到xoy面得D,它是一个矩形

　　在D内任意固定一点(x,y)作平行于z轴的直线

　　交边界曲面于两点,其竖坐标为l和m(l