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　　（2012广西崇左10分）如图所示,抛物线（a≠0）的顶点坐标为点A（－2,3）,

　　且抛物线与y轴交于点B（0,2）.

　　（1）求该抛物线的解析式；

　　（2）是否在x轴上存在点P使△PAB为等腰三角形,若存在,请求出点P的坐标；若不存在,请说

　　明理由；

　　（3）若点P是x轴上任意一点,则当PA－PB最大时,求点P的坐标.

　　【答案】（1）∵抛物线的顶点坐标为A(－2,3),∴可设抛物线的解析式为.

　　由题意得,解得.

　　∴物线的解析式为,即.

　　（2）设存在符合条件的点P,其坐标为（p,0）,则

　　PA=,PB=,AB=

　　当PA=PB时,=,解得；

　　当PA=PB时,=5,方程无实数解；

　　当PB=AB时,=5,解得.

　　∴x轴上存在符合条件的点P,其坐标为（,0）或（-1,0）或（1,0）.

　　（3）∵PA－PB≤AB,∴当A、B、P三点共线时,可得PA－PB的最大值,这个最大值等于AB,

　　此时点P是直线AB与x轴的交点.

　　设直线AB的解析式为,则

　　,解得.∴直线AB的解析式为,

　　当=0时,解得.

　　∴当PA－PB最大时,点P的坐标是（4,0）

　　（2012辽宁朝阳14分）已知,如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的斜边BC在x轴上,直角顶点A在y轴的正半轴上,A（0,2）,B（－1,0）.

　　（1）求点C的坐标；

　　（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；

　　（3）设点P（m,n）是抛物线在第一象限部分上的点,△PAC的面积为S,求S关于m的函数关系式,并求使S最大时点P的坐标；

　　（4）在抛物线对称轴上,是否存在这样的点M,使得△MPC（P为上述（3）问中使S最大时点）为等腰三角形?若存在,请直接写出点M的坐标；若不存在,请说明理由.

　　【答案】（1）∵A（0,2）,B（－1,0）,∴OA=2,OB=1.

　　由Rt△ABC知Rt△ABO∽Rt△CAO,∴,即,解得OC=4.

　　∴点C的坐标为（4,0）.

　　（2）设过A、B、C三点的抛物线的解析式为,

　　将A（0,2）代入,得,解得.

　　∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为,即.

　　∵,∴抛物线的对称轴为.

　　（3）过点P作x轴的垂线,垂足为点H.

　　∵点P（m,n）在上,

　　∴P.

　　∴,

　　,.

　　∴.

　　∵,∴当时,S最大.

　　当时,.∴点P的坐标为（2,3）.

　　（4）存在.点M的坐标为（）或（）或（）或（）或（）.

　　（2012山东临沂13分）如图,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．

　　（1）求点B的坐标；

　　（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；

　　（3）在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P的坐标；若不存在,说明理由．

　　【答案】（1）如图,过B点作BC⊥x轴,垂足为C,则∠BCO=90°.

　　∵∠AOB=120°,∴∠BOC=60°.

　　又∵OA=OB=4,

　　∴OC=OB=×4=2,BC=OB•sin60°=.

　　∴点B的坐标为（﹣2,﹣）.

　　（2）∵抛物线过原点O和点A．B,

　　∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx,将A（4,0）,B（﹣2,﹣）代入,得

　　,解得.

　　∴此抛物线的解析式为.

　　（3）存在.

　　如图,抛物线的对称轴是x=2,直线x=2与x轴的交点为D,设点P的坐标为（2,y）.

　　①若OB=OP,则22+|y|2=42,解得y=±,

　　当y=时,

　　在Rt△POD中,∠PDO=90°,sin∠POD=,

　　∴∠POD=60°

　　∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°,即P、O、B三点在同一直线上.

　　∴y=不符合题意,舍去.

　　∴点P的坐标为（2,﹣）.

　　②若OB=PB,则42+|y+|2=42,解得y=﹣.

　　∴点P的坐标为（2,﹣）.

　　③若OP=BP,则22+|y|2=42+|y+|2,解得y=﹣.

　　∴点P的坐标为（2,﹣）.

　　综上所述,符合条件的点P只有一个,其坐标为（2,﹣）.

　　（2012内蒙古包头12分）已知直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A,D两点,抛物线经过点A,D,点B是抛物线与x轴的另一个交点.

　　（1）求这条抛物线的解析式及点B的坐标；

　　（2）设点M是直线AD上一点,且,求点M的坐标；

　　（3）如果点C（2,y）在这条抛物线上,在y轴的正半轴上是否存在点P,使△BCP为等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标；若不存在,请说明理由.

　　【答案】（1）在y=2x+4中,令y=0,得x=－2；令x=0,得y=4.

　　∴A（－2,0）,D（0,4）.

　　将A（－2,0）,D（0,4）代入,得

　　,解得.

　　∴这条抛物线的解析式为.

　　令,解得.∴B（4,0）.

　　（2）设M（m,2m+4）,分两种情况：

　　①当M在线段AD上时,由得

　　,

　　解得,.∴M1（）.

　　②当M在线段DA延长线上时,

　　由得

　　,解得.∴M2（）.

　　综上所述,点M的坐标为M1（）,M2（）.

　　（3）存在.

　　∵点C（2,y）在上,

　　∴.∴C（2,4）.

　　设P,根据勾股定理,得

　　,

　　,.

　　分三种情况：

　　①若PB=BC,则,解得,.

　　∵点P在y轴的正半轴上,∴P1