求函数值域(最值)的各种方法

　　因为函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的,故其类型依解析式的特点可分为三类：

　　(1)求常见函数的值域；

　　(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；

　　(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域．

　　但无论用什么方法求函数的值域,都必须考虑函数的定义域．

　　具体的方法有：①直接法；②配方法；③分离常数法；

　　④换元法；⑤三角函数有界法；⑥基本不等式法；

　　⑦单调性法；⑧数形结合法；⑨导数法(对于具体函数几乎都可以用导数法去解决).

　　注意：(1)利用均值不等式求值域与最值时,必须保证“一正,二定,三相等”,特别是等号成立的条件容易被忽视．

　　(2)求函数的定义域、值域时,要按要求写成集合形式或区间形式．

　　举几个例子吧：

　　最小值用ymin表示,最大值用ymax表示

　　1.已知y=x^2-2x+3在0≤x≤m上有最大值3,最小值2,求实数m的取值范围

　　1、y=x²-2x+3=（x-1）²+2,如果对称轴x=1在区间内,即m＞1时有最小值2而最大值为3,也就是说（x-1）²=1,即y在x=2或者x=0处取最大值,所以m≤2,综上1＜m≤2

　　2.已知y=x^2+mx-1在0≤x≤3上有最小值-2,则m=?

　　2、y=x²+mx-1在0≤x≤3上有最小值-2,

　　①当对称轴x=-m/2在区间[0,3）左侧时,ymin=f（0）=-1不符合题意

　　②当对称轴x=-m/2在区间（0,3）内时,即0＜-m/2＜3也就是-6＜m＜0时,

　　ymin=f（-m/2）=m²/4-m²/2-1=-2解得m=±2舍去﹢2即m=-2

　　③当对称轴x=-m/2在区间（0,3]右侧时即-m/2≥3也就是m≥-6时,

　　ymin=f（3）=9+3m-1=-2解得m=-10/3

　　综上：m=-2或m=-10/3

　　3.已知y=-2x^2+8x+1,t≤x≤t+2,求y的最值

　　3、y=-2x^2+8x+1

　　当对称轴x=2在区间[t,t+2]左侧时,ymin=f（t）=-2t²+8t+1,无最大值

　　当对称轴x=2在区间[t,t+1）内时,ymax=f（t）=-2t²+8t+1,ymin=f（2）=9

　　当对称轴x=2=t+1即t=1时有ymin=f（2）=9,ymax=f（t+2）=f（3）=7

　　当对称轴x=2在区间（t+1,t+2]内时ymin=f（2）=9,

　　ymax=f（t+2）=（t+2）²+8（t+2）+1=t²+12t+21

　　当对称轴x=2在区间[t,t+2]右侧时ymin=f（t+2）=（t+2）²+8（t+2）+1=t²+12t+21

　　无最大值

　　4.已知y=x^2+ax+3-a,若-2≤x≤2始终有y＞0,求a的取值范围

　　4、y=x²+ax+3-a,若-2≤x≤2始终有y＞0等价于任意的x∈[-2,2]有ymin＞0

　　当对称轴-a/2在区间[-2,2]左侧时有ymin=f（-2）＞0解得a＜7/3

　　当对称轴-a/2在区间[-2,2]内部时ymin=f（-a/2）=-a²+3-a＞0解得-6＜a＜2

　　当对称轴-a/2在区间[-2,2]左侧时ymin=f（2）＞0解得a＞-7

　　希望对你有点帮助!