【如何证明下列数列的极限存在,并求其极限根号二,根号下二加根-查字典问答网

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　　【如何证明下列数列的极限存在,并求其极限根号二,根号下二加根号二,根号下二加根号下二加根号二·····根号这个符号我不知道怎么打,写过大侠们】

　　如何证明下列数列的极限存在,并求其极限

　　根号二,根号下二加根号二,根号下二加根号下二加根号二·····

　　根号这个符号我不知道怎么打,

　　写过大侠们

1回答

2020-07-23 06:43

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刘景汇

　　后项=根号(前项+2)(*)

　　首先证明每一项都小於2.这一点可以归纳证:

　　(1)根号2小于2

　　(2)假设前项小於2,则前项+2小于4,所以后项=根号(前项+2)小於2.

　　由数学归纳法知全部项小於2.

　　再证此数列单调增.

　　由于每一项都小于2,所以

　　后项=根号(前项+2)>根号(前项+前项)=根号(2*前项)>根号(前项*前项)

　　=前项.

　　所以此数列单调递增有上界,极限存在,设为a.

　　由(*),两边取极限得

　　a=根号(a+2)

　　解得a=2或a=-1(舍去)

　　所以极限为2.

2020-07-23 06:47:47