对于自由度为2的保守体系的振动,根据拉格朗日方程,得到体系的运动方程.

　　因为自由振动体系受定常约束,那么动能T是广义速度的二次齐次式.而势能与广义速度无关,仅为广义坐标的函数.不妨取平衡位置为广义坐标的零点,将势能在平衡位置作泰勒展开.并且取V(0)=0.

　　保守体系在平衡位置附近做小振动,那么广义坐标和广义速度都是小量.根据能量守恒,可以得到二者为同阶小量.将V(q1,q2)和T(q1的微分（即广义速度）,q2的微分（广义速度）)代入拉格朗日运动方程式得到一个二阶常系数微分方程组.直接取解的形式为q(i)=a(i)sin(wt+初始角度),再代入上面的拉格朗日方程式,经整理后得到关于振幅系数的代数方程组.

　　要得到上述线性齐次方程组的非零解,必须有系数行列式为零.得到的行列式（也可以称为方程）即为该小振动体系的久期方程.

　　具体过程可参见《力学与理论力学》.