AAAAAA题：正整数a,m,(a,m)=1,　证明:a^φ(m)==1modm.

　　BBB数论术语参考：

　　双等号==

　　为方便打字而引入,用以取代三线等号≡,可用作同余关系符号.

　　最大公约数gcd(a,m),有时简记作(a,m)：

　　a,m二者的最大公约数,最大公因数,最大公因子.为防混淆,有资料写作gcd(a,m)或gcf(a,m),英文全文为greatcommondivisor或greatcommonfactor.

　　既约⊥,a⊥m,a与m既约,不可约,互质,互素：

　　既约,或称不可约,或称互质,或称互素,a,m既约,记作a⊥m或(a,m)=1即a,m二者的最大公约数为1,已经约去公因子到不可再约了.

　　剩余类,同余类：

　　集合{a+mk,k为任意整数}称为m的a类剩余类,其中各元素对于模m是同余的,在同余意义上是等价的,故也称为同余类,同时,任何一个元素均可作全部元素之代表,任何一个元素称为剩余类的代表元,代表数,或代表.

　　既约剩余类,不可约剩余类,素剩余类：

　　集合{a+mk,k为任意整数,a与m互质}称为m的a类既约剩余类,或称不可约素剩余类,或称素剩余类

　　既约剩余系,素剩余系,简化剩余系,缩剩余系,缩系,简化系Z_(m)：

　　以不大于m且与m互质的正整数为代表元的剩余类构成的系列,是一种特殊的集合(系列型集合).

　　既约剩余系代表集

　　在既约剩余系的每个剩余类中各取一个代表元所构成的集合.

　　特别注意,在同余意义（同余等价性）上,将一个剩余系用其中一个代表数全权代表,此时,既约剩余系代表集与既约剩余系二者不必区分.

　　最小既约剩余代表集z_(m)：

　　不大于m且与m互质的正整数构成的集合.

　　φ(m),即欧拉函数,我称之为m的既约剩余计数函数,或m的素剩余计数函数,或m的缩系计数函数.

　　是不大于m且与m互质的正整数的个数之计数.我称之为m的既约剩余计数函数,或m的素剩余计数函数,或m的缩系计数函数.因为

　　欧拉是大数学家,也是大物理学家,命名为欧拉函数、欧拉定理的太多了,给一下特定称呼不致于混淆.

　　CCCCCC证明：

　　首先证明一个引理.

　　引入集合Z_m={x_1,x_2,...,x_φ(m)},其中各元素对于m两两不同余且各元素均与m互质,

　　即Z_m={x_i；其x(i)与m互质)

　　其中各元素对于m两两不同余

　　即是说,当ij时,x_ix_jmodm.

　　对于Z_m可以有以下三种理解,均不妨碍下面的过程,提出来是为了方便朋友们全面地理解.以下视某某为某某就是把某某看作某某的意思.

　　视Z_m为一个缩系,是一个集列型集合,其中x_i各是一个既约剩余类,以上这一点是从剩余类意义上来讲.

　　视Z_m为一个数集,是由所有与m互质的数的代表所构成,视x_i为一个与m互质的数,用来作为一个既约剩余类的代表,以上这一点是从同余等价性上来.

　　我们还可以定义Z_m={x_i；其x(i)与m互质且x(i)为