这个问题是韩信点兵

　　民间传说着一则故事——“韩信点兵”.

　　秦朝末年,楚汉相争.一次,韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战.苦战一场,楚军不敌,败退回营,汉军也死伤四五百人,于是韩信整顿兵马也返回大本营.当行至一山坡,忽有后军来报,说有楚军骑兵追来.只见远方尘土飞扬,杀声震天.汉军本来已十分疲惫,这时队伍大哗.韩信兵马到坡顶,见来敌不足五百骑,便急速点兵迎敌.他命令士兵3人一排,结果多出2名；接着命令士兵5人一排,结果多出3名；他又命令士兵7人一排,结果又多出2名.韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士,敌人不足五百,我们居高临下,以众击寡,一定能打败敌人.汉军本来就信服自己的统帅,这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”.于是士气大振.一时间旌旗摇动,鼓声喧天,汉军步步进逼,楚军乱作一团.交战不久,楚军大败而逃.

　　韩信是如何凭借交换队列的方式及三个余数,快速算出了士兵的总数的呢?

　　其实,韩信根本不是什么“神仙下凡”,也不是有什么“神机妙算”的法术.他算得快,算得准,是因为他掌握了这一类问题的求解方法与技巧.

　　这类问题就是著名的“孙子算经”和“中国剩余定理”所解决的问题.

　　我国古代数学名著《孙子算经》中,提出了闻名于世的“物不知数”问题.原文是：

　　“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何?”

　　书中还给出了其解法.韩信就是根据这个问题的解法推算出将士的准确数字的.

　　下面我们来研究这个问题的解法.

　　(Ⅰ)“笨”算法

　　原来的问题题意是：求一数,三除余二,五除余三,七除余二.这问题太容易回答了：因为以3除余2,以7除余2的数,以21除也余2,而23是以3,7除余2的最小数,它刚好又是以5除余3的数.所以心算快的人很快就能算出.

　　我们再来解决另一个问题吧!

　　“三除余二,五除余三,七除余四,求原数”.

　　下面先介绍解决这一问题的“笨”算法：

　　在算盘上先打上(或纸上写上)2,每次加3,加到以5除余3的时候暂停下来,再在这个数上每次加15,到得出以7除余4的数的时候,就是答数.具体地说：从2加3,再加3得,即

　　2,2＋3=5,5＋3=8．

　　它是以5除余3的最小数,然后在8上加15,再加15,第三次加15,得53,即

　　8,8＋15=23,23＋15=38,38＋15=53．

　　经过验算,53用3除余2,5除余3,7除余4,所以53就是符合要求的最小数.

　　这个方法的道理是什么呢?很简单：先从以3除余2的数中去找以5除余3的数,再从“3除余2,5除余3”的数中去找7除余4的数,如此而已.这方法虽然拙笨些,但这是一个步步能行的方法,是一个值得推荐的、朴素的方法.

　　上述问题的解答,不但53有此性质,而53＋105=158,158＋105=263都有此性质,因此,问题的确切提法应当是：求出三除余二,五除余三,七除余四的最小的正整数.

　　我们再介绍一个麻烦得多的问题.原文如下：

　　“今有数不知总.以五累减之无剩,以七百十五累减之剩十,以二百四十七累减之剩一百四十,以三百九十一累减之剩二百四十五,以一百八十七累减之剩一百零九.问总数若干.”

　　看来问题比较麻烦,但通过细心观察,有窍门可找.你看：第一句“以五累减之无剩”其实是多余的,因为这个数以715除余10必定是5的倍数.第三句话“以247累减之剩140”,就是说此数减去247的若干倍后还余140,140是5的倍数,此数也是5的倍数,那么减去的247的倍数也应是5的倍数.因此这句话可改为“以247×5=1235累减之剩140”.同样第四句话也可改为“以391×5=1955累减之剩245”.

　　现在我们可以完全仿照前面的方法进行计算,从245逐次加1955,直至得到的数用1235除余数为140止.计算过程如下：

　　逐次加1955245,2200,4155,6110,8065,10020．用1235去除的余数965,450,1170,655,140．

　　最后得到10020满足这两项要求.经检验10020的确符合全部条件,它就是我们要求的数.

　　下面再看一个古算题.

　　“二数余一,五数余二,七数余三,九数余四,问本数.”

　　首句与末句条件合起来是“18除余13”,再由

　　13,13＋18=31,31＋18=49,49＋18=67,

　　67是五除余2的数,再由

　　67,67＋5×18=67＋90=157．

　　经检验,157符合全部条件：以2除余1,以5除余2,以7除余3,以9除余4,所以157就是解答了.

　　(Ⅱ)古代的口诀解法

　　程大位著的《算法统宗》,对“物不知其数”的问题(见P．44第6行)的解答方法用下面的口诀标出：

　　“三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,

　　七子团圆正半月,除百零五便得知.”

　　它的意义是：

　　以70乘用3除的余数2,21乘用5除的余数3,15乘用7除的余数2,然后总加起来.如果它大于105,则减105,若仍大再减,……最后得出来的正整数就是答数了.

　　它的形式是：

　　2×70＋3×21＋2×15=233,

　　两次减去105,得23,这就是答数了.

　　为什么70,21,15有此妙用?这70,21,15是怎样求出来的?

　　先看70,21,15的性质：70是这样一个数：用3除余1,5与7都除得尽的数,所以70a是一个用3除余a而5与7除都除得尽的数.21是用5除余1,3与7除得尽的数,所以21b是用5除余b,而3与7除得尽的数.同理,15c是用7除余c而3与5除得尽的数.总起来：

　　70a＋21b＋15c

　　是一个3除余a,5除余b,7除余c的数,也就是可能的解答之一,但可能不是最小的.这数加减105后都仍然有同样的性质,所以可以多次减去105而得出解答来.

　　在程大位的口诀里,前三句的意义是点出3,5,7与70,15,21的关系,后一句说明为了寻求最小正整数解还须减105,或再减105等.

　　这个方法是很好的.但是如何找出这70,21,15三个数呢?可用凑的方法：

　　在算盘上先打上35,它不是用3除余1,再加上35,得70,它是用3除余1了.其它可仿此求出.

　　现在我们可以来揭示“韩信点兵”的秘密了：

　　我们容易看出：韩信在点兵布阵时,士兵3人一排多出2人