已知方程组x^2+y^2-2x=0,kx-y-k=0（x,y-查字典问答网

来自汤皓的问题

　　已知方程组x^2+y^2-2x=0,kx-y-k=0（x,y为未知数）的两个不同实数解为x=x1,y=y1;x=x2,y=y2.求证：（x1-x2)^2+(y1-y2)^2是一个常数.

　　已知方程组x^2+y^2-2x=0,kx-y-k=0（x,y为未知数）的两个不同实数解为x=x1,y=y1;x=x2,y=y2.

　　求证：（x1-x2)^2+(y1-y2)^2是一个常数.

1回答

2020-07-25 06:01

我要回答

请先登录

郝建军

　　根据kx-y-k=0,得y=kx-k(1)

　　将（1）代入前面的二次式,得(k^2+1)x^2-2(k^2+1)x+k^2=0

　　根据韦达定理,因为x1,x2满足此方程,所以x1+x2=2,x1*x2=k^2/(k^2+1),都可以求出

　　同理,用带y的式子来表达x的话同样可以求出y1*y2,y1+y2

　　再根据完全平方展开式,(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1*x2可用带k的表达式表达出来

　　同样的,(y1-y2)^2也可以这么展开,用一个带k的式子来表达

　　两者相加,正好消去k,所以得出来(x1-x2)^2+(y1-y2)^2是个常数,结果应该是4（如果没算错）

2020-07-25 06:03:15