这个真要解释清楚需要用到大学数学中线性代数和组合数学的知识,很麻烦,高中阶段你只要会用并能证明其正确性即可……

　　证明如下：

　　特徵方程法：

　　a(n+2)=p*a(n+1)+q*an

　　其特征方程为x^2-p*x-q=0

　　i.若其有两个不相等的根（称作特征根）α、β

　　则an=A*α^n+B*β^n

　　其中常数A、B的值由初始值a1、a2的值确定.

　　ii.若其有两个相等的根α

　　则an=(A*n+B)*α^n

　　其中常数A、B的值由初始值a1、a2的值确定.

　　最终可得：

　　当{an}有两个不等的特征根为根α,β时

　　由

　　a(n+2)-α*a(n+1)=β^(n-1)*(a2-α*a1)

　　a(n+2)-β*a(n+1)=α^(n-1)*(a2-β*a1)

　　得

　　an=((a2-β*a1)/(α-β))*α^(n-1)-((a2-β*a1)/(α-β))*β^(n-1)

　　或由

　　A*α+B*β=a1

　　A*α^2+B*β^2=a2

　　可得

　　A=(a2-β*a1)/(α^2-α*β)

　　B=(a2-β*a1)/(β^2-α*β)

　　得

　　an=((a2-β*a1)/(α-β))*α^(n-1)+((a2-β*a1)/(β-α))*β^(n-1)

　　当特征根为重根α时

　　由

　　an-α*a(n-1)=α^(n-2)*(a2-α*a1)

　　α*a(n-1)-α^2*a(n-2)=α^(n-2)*(a2-α*a1)

　　…

　　α^(n-2)*a2-α^(n-1)*a1=α^(n-2)*(a2-α*a1)

　　an-α^(n-1)*a1=(n-1)*α^(n-2)*(a2-α*a1)

　　得

　　an=((a2-a1*α)*n+2*a1*α-a2)*α^(n-2)

　　或由

　　(A+B)*α=a1

　　(2*A+B)*α^2=a2

　　可得

　　A=(a2-a1*α)/(α^2)

　　A=(2*a1*α-a2)/(α^2)

　　得

　　((a2-a1*α)*n+2*a1*α-a2)*α^(n-2)

　　由于

　　α+β=A

　　α*β=-B

　　由韦达定理,可构造一元二次方程

　　x^2-p*x-q=0

　　此即为二阶常系数齐次线性递推数列

　　a(n+2)=p*a(n+1)+q*an

　　的特徵方程

　　特殊的,当二阶常系数齐次线性递推数列

　　a(n+2)=p*a(n+1)+q*an

　　的特徵根为重根α=1时

　　即p=2,q=-1

　　a(n+2)=2*a(n+1)-an

　　此时,二阶常系数齐次线性递推数列

　　a(n+2)=2*a(n+1)-an

　　为等差数列

　　不动点法：

　　递推式：

　　a(n+1)=(A*an+B)/(C*an+D)

　　（n∈N*,A,B,C,D为常数,C不为0,AD-BC不为0,a1与a2不等）

　　其特征方程为x=(A*x+B)/(C*x+D)

　　特征方程的根称为该数列的不动点

　　这类递推式可转化为等差数列或等比数列

　　1）若x=(A*x+B)/(C*x+B)有两个不等的根α、β,则有：

　　(a(n+1)-α)/(a(n+1)-β)=k*((an-α)/(an-β))

　　其中k=(A-α*C)/(A-β*C)

　　x=(A*x+B)/(C*x+D)

　　C*x^2+(D-A)*x-B=0

　　α不等于β

　　(D-A)^2+4*B*C不等于0

　　C*α^2+(D-A)*α-B=0

　　C*α^2-A*α=B-α*D

　　a(n+1)-α=(A*an+B-C*α*an-α*D)/(C*an+D)=(A*an-C*α*an+C*α^2-A*α)/(C*an+D)=(A-C*α)*(an-α)/(C*an+D)

　　a(n+1)-β=(A*an+B-C*β*an-β*D)/(C*an+D)=(A*an-C*β*an+C*β^2-A*β)/(C*an+D)=(A-C*β)*(an-β)/(C*an+D)

　　(a(n+1)-α)/(a(n+1)-β)=(A-α*C)/(A-β*C)*((an-α)/(an-β))

　　由

　　(an-α)/(an-β)=((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1)*((a1-α)/(a1-β))

　　得

　　an=(β*(((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1))*((a1-α)/(a1-β))-α)/(((((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1))*((a1-α)/(a1-β))-1)

　　=(β*(a1-α)*(A-α*C)^(n-1)-α*(a1-β)*(A-β*C)^(n-1))/((a1-α)*(A-α*C)^(n-1)-(a1-β)*(A-β*C)^(n-1))

　　2）若x=(A*x+B)/(C*x+B)有重根α,则有

　　1/(a(n+1)-α)=1/(an-α)+k

　　其中k=(2*C)/(A+D)

　　x=(A*x+B)/(C*x+D)

　　C*x^2+(D-A)*x-B=0

　　C*α^2+(D-A)*α-B=0

　　α=(A-D)/(2*C)

　　a(n+1)-α=(A-C*α)*(an-α)/(C*an+D)

　　1/(a(n+1)-α)=((C*an+D)/(A-C*α))*(1/(an-α))

　　=1/(an-α)+(C*an+D-A+((A-D)/(2*C))*C)/((A-(A-D)/(2*C)*C)*(an-(A-D)/(2*C)))=1/(an-α)+(C*an+C*(D-A)/(2*C))/(((A+D)/2)