用积分推导圆面积公式设在直角坐标系上有一圆心在原点、半径为r-查字典问答网

来自林高平的问题

　　用积分推导圆面积公式设在直角坐标系上有一圆心在原点、半径为r的圆,用积分推导出圆的面积计算公式.要有积分思路,并列出式,最好一步一步算,最后推导出公式.

　　用积分推导圆面积公式

　　设在直角坐标系上有一圆心在原点、半径为r的圆,用积分推导出圆的面积计算公式.

　　要有积分思路,并列出式,最好一步一步算,最后推导出公式.

1回答

2020-07-27 17:54

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李大龙

　　x^2+y^2=r^2

　　只需算出第一象限,然后乘以4

　　S/4=∫(0到r)√(r^2-x^2)dx

　　令x=rcosa

　　√(r^2-x^2)=rsina

　　dx=-rsinada

　　所以S/4=∫(π/2到0)rsina*(-rsina)da

　　=-r^2∫(π/2到0)(sina)^2da

　　=-r^2∫(π/2到0)(1-cos2a)/2da

　　=-r^2/4∫(π/2到0)(1-cos2a)d2a

　　=-r^2/4(2a-sin2a)(π/2到0)

　　=πr^2/4

　　所以S=πr^2

2020-07-27 17:58:19