设正N边形的外接圆圆心O,O也是正N边形的中心,圆心与正N边形顶点A的连线OA(也就是圆半径)是正N边形那个顶角的角平分线,而正N边形顶角度数为180-360/N,假设正N边形的边长为L,与A相邻的另一个顶点为B,则等腰三角形OAB的两个底角θ=90-180/N半径OA=L/2÷cosθ

　　面积=πOA^2=π(L^2/4cosθ^2)=π(L^2/4cos(90-180/N)^2)