第22章曲面积分

　　一、基本概念

　　1、第一型曲面积分的定义

　　设是空间中可求面积的曲面,为定义在上的函数.把分割为n个小曲面i（S),(zyxfSSSni,1L=）

　　,以记小块曲面的面积,分割T的细度iSΔ{}的直径iniST≤≤=1max,在上任取一点)iS,iiiςηξ（（ni,1L=）,若极限iniiiiTSfΔ∑=→10),(limςηξ

　　存在,且与分割T与),iiiςηξ（（）的取法无关,则称此极限为在上的第一型曲面积分,记作.ni,1L=),(zyxfS∫∫SdSzyx,(f,)

　　2、第一型曲面积分的计算

　　定理1设有光滑曲面：,S),(yxzz=Dyx∈),(,为上的连续函数,则),(zyxfSdxdyzzyxzyxfdszyxfDyxS∫∫∫∫++=221)),(,(),(

　　3、第二类曲面积分的计算

　　定理2设R是定义在光滑曲面：,上的连续函数,以的上侧为正侧（这时的法线方向与轴正向成锐角）,则有S),(yxzz=xyDyx∈),(SSz

　　dxdyyxzyxfdszyxfxyDS∫∫∫∫=)),(,(),(

　　4、Gauss公式

　　定理3设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面围成.若函数SP,Q,R在V上连续,且有一阶连续偏导数,则：∫∫∫∫∫++=∂∂+∂∂+∂∂SVRdxdyQdzdxPdydzdxdydzzRyQxp)(

　　其中取外侧.S

　　5、Stokes公式

　　定理4设是R3中的光滑曲面,的边界SSL是了按段光滑的连续曲线.若函数P,Q,R在V上连续,且有一阶连续偏导数,则：∫∫∂∂∂∂∂∂SRQPzyxdxdydzdxdydz=.∫∂++DRdzQdyPdx

　　二、基本方法

　　1、利用dxdyzzyxzyxfdszyxfDyxS∫∫∫∫++=221)),(,(),(和两个公式计算第一型和第二型曲面积分；dxdyyxzyxfdszyxfxyDS∫∫∫∫=)),(,(),(

　　2、利用Gauss公式计算三维积分；

　　3、利用Stokes公式计算曲面积分.

　　三、基本要求

　　1、掌握求第一型和第二型曲面积分的方法；

　　2、会用Gauss公式和Stokes公式计算曲面积分.

　　四、典型例题

　　例1求,其中是上半球面,.∫∫++SdSzyx)(S2222azyx=++0≥z

　　解根据对称性,＝＝0,只要计算即可.由∫∫SxdS∫∫SydS∫∫SzdS222yxaz−−=,222yxaxzx−−−=,222yxayzy−−−=,所以.3222)(adxdyadSzyxayxSπ==++∫∫∫∫≤+

　　例2计算,其中是以原点为中心,边长为2的立方体表面并取外侧为正向.∫∫+++++Sdxdyxzdzdxzydydzyx)()()(S

　　解分析：观察积分结构及曲面的图形知,Szyx、、两两对称,由对称性知,只需计算其中之一即可.

　　由∫∫∫∫∫∫−−−−+−−+=+11111111)1()1()(dzydydxydydydzyxS

　　8)1(2)1(21111=−−+=∫∫−−dyydyy

　　故＝∫∫+++++Sdxdyxzdzdxzydydzyx)()()(83×＝.24

　　例3证明：若为封闭曲面,为任何固定方向,则Sl0),cos(=∫∫SdSln,其中为曲面外法线方向.nS

　　证设n和l的方向余弦为αcos,βcos,γcos和,则＋＋,所以'cosα'cosβ'cosγ'coscos),cos(αα=ln'coscosββ'coscosγγ∫∫∫∫=SSdSln(),cos('coscosαα＋＋）'coscosββ'coscosγγdSdxdydzdxdydzS'''coscoscosγβα++=∫∫外

　　又因l的方向固定,都是常数,故'cosα=P'cosβ=Q'cosγ=R0=∂∂+∂∂+∂∂zRyQxP,由奥高公式,

　　原式∫∫∫∫∫=++=VSRdxdyQdzdxPdydz(zRyQxP∂∂+∂∂+∂∂）dxdydz0=.

　　五、自测题

　　1．利用高斯公式求下列积分：

　　1)222Sxdydzydzdxzdxdy++∫∫,其中

　　(a)为立方体0,S,xyza≤≤的边界曲面外侧；

　　(b)为锥面S222(0)xyzzh+=≤≤,下侧．

　　2)333Sxdydzydzdxzdxdy++∫∫,其中是单位球面的外侧；S

　　3）设是上半球面S22zaxy=−−2的上侧,求

　　(a)Sxdydzydzdxzdxdy++∫∫,

　　(b)()()22222Sxzdydzxyzdzdxxyyzdxdy+−++∫∫；

　　4)()()()222222Sxyzdydzyzxdzdxzxydxdy−++−++−+∫∫,是S

　　()()()2222xaybzc−+−+−=R的外侧．

　　2．用斯托克斯公式计算下列积分：

　　1)∫++L32zdzdydxyx,其中

　　(a)L为圆周,方向是逆时针,222,xyaz+==0

　　(b)L为所交的椭圆,从轴正向看去,按逆时针方向；221,yzx+==yx

　　2)∫−+−+−L)()()(dzyxdyxzdxzy,其中L是从(),0,0a经()0,0a至()0,0,a回到(),0,0a

　　三角形；

　　3)∫+++++L222222)()()(dzyxdyxzdxzy,其中

　　(a)L为1xyz++=与三坐标轴的交线,其