【已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0-查字典问答网

来自李孝明的问题

　　【已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号3/3已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√3/3,过右焦点F的直线L与C相交于A、B两点,当l的斜率为1时,坐标原点O到L的距离为√2/2.C上是否存在点P,】

　　已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号3/3

　　已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√3/3,过右焦点F的直线L与C相交于A、B两点,当l的斜率为1时,坐标原点O到L的距离为√2/2.

　　C上是否存在点P,使得当L绕F转到某一位置时,有向量OP=向量OA+向量OB成立?若存在,求出所有点P的坐标与L的方程；若不存在,说明理由.

1回答

2020-07-31 15:28

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蔡飞

　　F(c,0),于是直线L1（k=1时)：x-y-c=0

　　O到L1的距离：√2/2=c/√2,c=1

　　e=√3/3=c/a,a=√3,b=√2

　　∴椭圆为：x^2/3+y^2/2=1

　　把坐标平面看做复平面：向量OA、OB、OP对应复数Z1、Z2、Z3；对应点A(x1,y1)、B(x2,y2)、P(x3,y3)

　　于是：向量OP=向量OA+向量OB等价于Z3=Z1+Z2等价于x3=x1+x2,y3=y1+y2

　　设直线L为：x=ty+1(当然也可以设为y=k(x-1))代入椭圆方程有：

　　(2t^2+3)y^2+4ty-4=0,

　　y3=y1+y2=-4t/(2t^2+3)

　　x3=x1+x2=t(y1+y2)+2=2-4t^2/(2t^2+3)=6/(2t^2+3)

　　P在椭圆上代入解得：t=±√42/2

　　∴L为:2x±√42y-2=0.

2020-07-31 15:33:26