来自邓集波的问题
连续自然数的倒数和连续自然数的倒数到底能不能求和为什么请给出科学的详细的解释
连续自然数的倒数和
连续自然数的倒数到底能不能求和为什么请给出科学的详细的解释
1回答
2020-07-31 06:51
连续自然数的倒数和连续自然数的倒数到底能不能求和为什么请给出科学的详细的解释
连续自然数的倒数和
连续自然数的倒数到底能不能求和为什么请给出科学的详细的解释
需要有极限,数列的知识可求和是收敛,不可求和则发散
问题实质是证明数列{xn}={1+1/2+1/3+...+1/n}是发散的
任意取n,可令m=2n,有
{xm-xn}=1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(n+n)大于或等于1/(n+n)+1/(n+n)+...+1/(n+n)=1/2,令a=1/2,则对任意的N,当n>N时候都有x2n-xn的绝对值要大于a=1/2
由柯西收敛准则知道xn={1+1/2+1/3+...+1/n}发散
附柯西收敛准则数列收敛的充分必要条件是对任意大于0的数a存在一个大于0的数N,使得m,n>N,时有xn-xm的绝对值小于a该准则可以理解收敛数列的各项的值越到后面,彼此越接近,以至它们之间的差的绝对值可小雨任意给定的正数