方程3x的平方+2(a+b+c)x+ab+bc+ac=0有两个相等的实数根,所以

　　4(a+b+c)^2-12(ab+bc+ca)=0

　　(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)=0

　　a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca-3ab-3bc-3ca=0

　　a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0

　　上式两边乘以2,再处理一下,可得

　　a^2+b^2-2ab+b^2+c^2-2bc+c^2+a^2-2ca=0

　　(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0

　　所以a-b=0,b-c=0,c-a=0,

　　从而a=b=c,

　　故这个三角形是等边三角形.