【利用高斯公式的方法计算积分∫∫x2y2dxdy,其中∑是球-查字典问答网

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　　【利用高斯公式的方法计算积分∫∫x2y2dxdy,其中∑是球面x2+y2+z2=r2下部分下侧】

　　利用高斯公式的方法计算积分∫∫x2y2dxdy,其中∑是球面x2+y2+z2=r2下部分下侧

1回答

2020-07-31 14:58

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林都

　　补平面Σ1：z=0,x²+y²≤r²,上侧,这样Σ+Σ1为一个封闭曲面

　　由高斯公式：

　　∫∫(Σ+Σ1)x²y²dxdy

　　=∫∫∫0dxdydz

　　下面计算所补平面的积分

　　∫∫(Σ1)x²y²dxdy

　　=∫∫(D)x²y²dxdy其中积分区域D为x²+y²≤r²,下面用极坐标

　　=∫∫ρ^5cos²θsin²θdρdθ

　　=∫[0→2π]cos²θsin²θdθ∫[0→r]ρ^5dρ

　　=(1/4)∫[0→2π]sin²2θdθ×(1/6)ρ^6|[0→r]

　　=(1/24)r^6∫[0→2π]sin²2θdθ

　　=(1/48)r^6∫[0→2π](1-cos4θ)dθ

　　=(1/48)r^6[θ-(1/4)sin4θ]|[0→2π]

　　=(1/24)πr^6

　　最后两个积分相减得：

　　原式=0-(1/24)πr^6=-(1/24)πr^6

　　若有不懂请追问,如果解决问题请点下面的“选为满意答案”.

2020-07-31 15:02:16