多项式的对称

　　假设是未知数,是的二次方程,,它的两个根有如下关系：

　　,

　　和都有这样的性质：把和对换,结果仍然不变,因为

　　,

　　凡是有这样性质的和的多项式叫做对称多项式.

　　例如,,也是对称多项式,但是就不是对称多项式.并且我们习惯上把和叫做初等对称多项式.

　　我们来看一般情况,设n∈Z+,a0,a1,……an∈C,a0≠0设现在有一元n次多项式方程：

　　著名的代数基本定理告诉我们,这样的方程有n个根,假设为,那么：

　　和二次的情形相仿,韦达定理给出：

　　像如上左边各式：

　　等这样的多项式,不论我们对,作怎样的排列,都是不会变的.也就是说我们把,是一个n排列,那么以上的式子是不会变的.这样的式子我们称为的对称多项式,并且以上的几个对称多项式为初等对称多项式.

　　定义6：设是C上的一个n元多项式,如果对这n个文字的指数集{1,2,…n}施行任一个置换后,都不改变,那么就称是C上一个n元对称多项式.

　　例如:是对称多项式,

　　而就不是,

　　如果把：1→2,2→3,3→1

　　那么

　　初等对称多项式的重要性在于

　　定理（对称多项式基本定理）：

　　每一个n元对称多项式都可以唯一地表示成初等对称多项式的多项式.

　　现在我们用群的语言去描述n元多项式的对称性.

　　令,Sn是M的变换群,即前面提到的n次对称群.如果我们略去字母而只记下标,这时Sn中的元素可以记为：

　　是一个n排列.

　　令F记数域F上n元多项式的全体.对,利用可以定义F到F的一个映射,

　　那么是集合F的一个一一变换.为什么?

　　令Tn中

　　那么（Tn,o）满足,称之为F的置换群.

　　如果把n元多项式和平面图形类比,把F和平面类比,则F的置换群相当于平面的运动群,（平面的所有保距变换）.

　　即所有不变的那些,那么我们满足性质,称之为n元多项式的对称群.

　　例1：,那么,即四次对称群是的对称群.

　　例2：

　　例3：

　　——Klein4元群

　　例4：单位元群

　　例5：

　　是3阶循环解.

　　定义：的一个多项式称为对称多项式,如果.即对称群是整个置换群.

　　就这样我们用群来刻划了多项式的对称.

　　如何去构造对称多项式,可见《近世代数》P55.

　　四、数域的对称

　　数域的概念在大学一年级高等代数中就讲过了.

　　一个非空数集F,至少含有一个非零的数,如果F对＋,－,×,÷封闭,那么F称为一个数域.

　　Q,R,C都是数域,最小的数域是Q,

　　也是一个数域.

　　平面图形是一个几何结构,即是把一个点集M（图形由点组成）连同此点集M中任意两点间的距离作为一个整体来考虑,而其对称群就是M的保持其任两点间的距离不变的变换的全体,这些保持M的几何结构（即距离）的变换的全体,就刻画了几何结构的对称.

　　完全类似地,数域F是一个代数结构,也就是把一个数集F连同此数集F中加、减、乘、除的运算作为一个整体一起来考虑.

　　所以数域F的对称也同样地可以用F的保持代数结构（即运算）的变换的全体来刻画.

　　定义7数域F的自同构是指：

　　（1）是F的一个一一变换

　　（2）

　　定理1若是F的自同构,那么有以下系列的性质：

　　（1）

　　（2）；

　　（3）

　　（4）.

　　和我们前面讨论平面有限图形K的对称一样两个对称变换的乘积仍是K的一个对称变换,类似地我们有：

　　性质1设和是数域F的两个自同构,那么和也是F的一个自同构.

　　性质2令Aut（F）表示F的所有自同构的全体,令o表示变换的乘法,则（Aut(F),o）满足G1)—G4).

　　定义8称（Aut(F),o）为数域F的自同构群.

　　我们可以这样来类比：数域F的自同构群相当于图形K的对称群,后者刻画了图形K的对称,前者则刻画了数域的“对称”,——它是图形对称在数域上的一个类比概念.

　　定理2有理数域的自同构群只有一个元素——恒等自同构I.

　　由此可知,若任意数域F,F,且,那么.即,限制在上是恒等变换.

　　例1令是一个数域,是把添加到做成的代数扩域.考察F的自同构群.

　　设

　　,

　　由定理1知,,

　　故,变换的结果取决于

　　令最多只有2个数值和,故F的自同构群只有

　　可以验证I、确为F上的自同构.

　　oIφ

　　IIφ

　　φφI

　　这是一个2元循环群,,

　　同构于,即的对称群.

　　例2令

　　这也是一个数域.设,同上例,的作用决定于和,知和只有4种组合方式.故Aut(E)只有4个元素

　　oIφ1φ2φ12

　　IIφ1φ2φ12

　　φ1φ1Iφ12φ2

　　φ2φ2φ12Iφ1

　　φ12φ12φ2φ1I

　　o(1)(12)(34)(12)(34)

　　(1)(1)(12)(34)(12)(34)

　　(12)(12)(1)(12)(34)(34)

　　(34)(34)(12)(34)(1)(12)

　　(12)(34)(12)(34)(34)(12)(1)

　　Aut(E)与Klein4元群同构:

　　,

　　即的对称群.

　　我们把上面说的推广到一般情况,

　　定义9给定两个数域F和E,如果FE,则称F是E的子域,而称E为F的扩域.令

　　即是使得F中元素不动的E的自同构,Aut(E:F)就是由所有这样的组成.

　　F就相当于平面图形的对称中的对称轴或是旋转中心.

　　命题（Aut(E:F),o）满足,称为数域E在F上的对称群.

　　例3

　　和都不能使到a+b保持不变.

　　设,为n次多项式,n个根为,在F上的分裂域为E,,那么称（Aut(E:F)