已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+x-查字典问答网

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　　已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时，（Ⅰ）0<xn+1<xn；（Ⅱ）2xn+1-xn≤xnxn+12；（Ⅲ）12n-1≤xn≤12n-2．

　　已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时，

　　（Ⅰ）0<xn+1<xn；

　　（Ⅱ）2xn+1-xn≤xnxn+12；

　　（Ⅲ）12n-1≤xn≤12n-2．

1回答

2020-08-02 04:50

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汪乐宇

　　（Ⅰ）用数学归纳法证明：xn>0，

　　当n=1时，x1=1>0，成立，

　　假设当n=k时成立，则xk>0，

　　那么n=k+1时，若xk+1<0，则0<xk=xk+1+ln（1+xk+1）<0，矛盾，

　　故xn+1>0，

　　因此xn>0，（n∈N*）

　　∴xn=xn+1+ln（1+xn+1）>xn+1，

　　因此0<xn+1<xn（n∈N*），

　　（Ⅱ）由xn=xn+1+ln（1+xn+1）得xnxn+1-4xn+1+2xn=xn+12-2xn+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1），

　　记函数f（x）=x2-2x+（x+2）ln（1+x），x≥0

　　∴f′（x）=2x

2020-08-02 04:51:48