【1】证明：①∵点P(2,4)在抛物线y=(-1/2)x²+h上,∴4=（-1/2）×2²+h..

　　∴h=6.

　　∴抛物线y=(-1/2)x²+6.

　　②∵点A,B均在该抛物线上,故可设其坐标为A(2a,6-2a²),B(2b,6-2b²).(a≠b).

　　③由题设可知,若直线PA的倾斜角为β,则直线PB的倾斜角为π-β

　　∴由斜率公式可知,Kpa=tanβ.Kpb=tan(π-β)=-tanβ.

　　∴Kpa+Kpb=0.即两条直线PA与PB的斜率之和为0.

　　又由斜率公式可得：Kpa=(2-2a²)/(2a-2)=－(a+1).

　　Kpb=(2-2b²)/(2b-2)=－(b+1).

　　∴[-(a+1)]+[-(b+1)]=0.∴a+b=-2.

　　④由斜率公式可得:Kab=[(6-2a²)-(6-2b²)]/(2a-2b)=(b²-a²)/(a-b)=-(a+b)=2.

　　∴直线AB的斜率恒为定值2.

　　①∵直线AB的斜率为2,故可设其“斜截式方程”为：y=2x+t.

　　又直线AB的纵截距为正,∴t＞0.

　　联立抛物线方程y=(-1/2)x²+6与直线方程y=2x+t.,整理可得：

　　x²+4x+2(t-6)=0.

　　∴判别式⊿=16-8(t-6)=8(8-t)＞0.∴0＜t＜8.

　　②由“圆锥曲线弦长公式”可知,弦|AB|=√[40(8-t)].

　　再由“点到直线的距离公式”可知,点P(2,4)到直线AB:y=2x+t的距离d为：

　　d=t/(√5).

　　∴三角形⊿PAB的面积S=(1/2)×|AB|×d=(1/2)×√[40(8-t)]×t/(√5).

　　=√[2t²(8-t)]=√[2(-t³+8t²)].

　　③现在来求函数f(t)=-t³+8t²,(0＜t＜8）的最大值.

　　求导可得f′(t)=-3t²+16t.=-t(3t-16).

　　易知,在区间(0,8)上,当0＜t＜16/3时,有f′(t)＞0.

　　当16/3＜t＜8时,有f′(t)＜0.

　　∴由“函数单调性与其导数正负的关系”可知,

　　函数f(t)在t=16/3时取得最大值.∴当t=16/3时,⊿PAB的面积最大.

　　④当t=16/3时,由S=√[2t²(8-t)]可得：S=(64√3)/9.

　　即⊿PAB面积的最大值为（64√3）/9.

　　希望可以明白哦~