解∵f(x)具有任意阶导数,且f'(x)=[f(x)]^2

　　∴f''(x)=2f(x)f'(x)=2![f(x)]^3

　　f'''(x)=3![f(x)]^4

　　.

　　f(x)的n阶导数=n![f(x)]^(n+1)（n=2,3,4,.）

　　现在用数学归纳法证明它的正确性：

　　(1)当n=2时,左边=2f(x)f'(x)=2[f(x)]^3

　　右边=2![f(x)]^3=2[f(x)]^3

　　∴左边=右边,原式成立.

　　(2)假设当n=k时,原式成立,即f(x)的k阶导数=k![f(x)]^(k+1)

　　当n=k+1时,左边=f(x)的(k+1)阶导数

　　=k!(k+1)[f(x)]^k*f'(x)

　　=(k+1)![f(x)]^k*[f(x)]^2

　　=(k+1)![f(x)]^(k+2)

　　=右边

　　综合(1),(2)知f(x)的n阶导数=n![f(x)]^(n+1)（n=2,3,4,.）