f'(tanx+1)=cos²x+sec²x=1/(1+tan²x)+1+tan²x

　　令t=tanx+1,则tanx=t-1

　　f'(t)=1/[1+(t-1)²]+1+(t-1)²

　　两端同时积分得

　　f(t)=∫1/[1+(t-1)²]dt+∫[1+(t-1)²]dt

　　=arctan(t-1)+t+(t-1)³/3+C

　　把f(1)=2代入得

　　0+1+0+C=2,解得C=1

　　故f(x)=arctan(x-1)+x+(x-1)³/3+1