⒈十字相乘法概念

　　十字相乘法能把某些二次三项式分解因式.这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1•a2,把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1•c2,并使a1c2+a2c1正好是一次项b,那么可以直接写成结果:在运用这种方法分解因式时,要注意观察,尝试,并体会它实质是二项式乘法的逆过程.当首项系数不是1时,往往需要多次试验,务必注意各项系数的符号.

　　例题

　　例1把2x^2-7x+3分解因式.

　　分析：先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分

　　别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数.

　　分解二次项系数(只取正因数)：

　　2＝1×2＝2×1；

　　分解常数项：

　　3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).

　　用画十字交叉线方法表示下列四种情况：

　　11

　　╳

　　23

　　1×3+2×1

　　=5

　　13

　　╳

　　21

　　1×1+2×3

　　=7

　　1-1

　　╳

　　2-3

　　1×(-3)+2×(-1)

　　=-5

　　1-3

　　╳

　　2-1

　　1×(-1)+2×(-3)

　　=-7

　　经过观察,第四种情况是正确的,这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数－7.

　　解2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1).

　　一般地,对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0),如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即a=a1a2,常数项c可以分解成两个因数之积,即c=c1c2,把a1,a2,c1,c2,排列如下：

　　a1c1

　　?╳

　　a2c2

　　a1c2+a2c1

　　按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b,那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积,即

　　ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).

　　像这种借助画十字交叉线分解系数,从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法,通常叫做十字相乘法.

　　例2把6x^2-7x-5分解因式.

　　分析：按照例1的方法,分解二次项系数6及常数项-5,把它们分别排列,可有8种不同的排列方法,其中的一种

　　21

　　╳

　　3-5

　　2×(-5)+3×1=-7

　　是正确的,因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.

　　解6x^2-7x-5=(2x+1)(3x-5)

　　指出：通过例1和例2可以看到,运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解,往往要经过多次观察,才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.

　　对于二次项系数是1的二次三项式,也可以用十字相乘法分解因式,这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x^2+2x-15分解因式,十字相乘法是

　　1-3

　　╳

　　15

　　1×5+1×(-3)=2

　　所以x^2+2x-15=(x-3)(x+5).

　　例3把5x^2+6xy-8y^2分解因式.

　　分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式,把-8y^2看作常数项,在分解二次项及常数项系数时,只需分解5与-8,用十字交叉线分解后,经过观察,选取合适的一组,即

　　12

　　?╳

　　5-4

　　1×(-4)+5×2=6

　　解5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)(5x-4y).

　　指出：原式分解为两个关于x,y的一次式.

　　例4把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.

　　分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式,只有先进行多项式的乘法运算,把变形后的多项式再因式分解.

　　问：两上乘积的因式是什么特点,用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?

　　答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2,就变为2(x-y),它是第一个因式的二倍,然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算,可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式,就可以用十字相乘法分解因式了.

　　解(x-y)(2x-2y-3)-2

　　=(x-y)[2(x-y)-3]-2

　　=2(x-y)^2-3(x-y)-2

　　=[(x-y)-2][2(x-y)+1]

　　=(x-y-2)(2x-2y+1).

　　1-2

　　╳

　　21

　　1×1+2×(-2)=－3

　　指出：把(x-y)看作一个整体进行因式分解,这又是运用了数学中的“整体”思想方法.

　　例5x^2+2x-15

　　分析：常数项(-15)7不成立继续试

　　第二次

　　12

　　╳

　　23

　　1X3+2X2=7所以分解后为:(x+2)(2x+3)

　　[编辑本段]⒉十字相乘法（解决两者之间的比例问题）

　　原理

　　一个集合中的个体,只有2个不同的取值,部分个体取值为A,剩余部分取值为B.平均值为C.求取值为A的个体与取值为B的个体的比例.假设A有X,B有（1-X）.

　　AX+B（1-X）=C

　　X=(C-B)/(A-B)

　　1-X=(A-C)/(A-B)

　　因此：X∶（1-X）=（C-B）∶(A-C)

　　上面的计算过程可以抽象为：

　　A………C-B

　　……C

　　B………A-C

　　这就是所谓的十字相乘法.

　　十字相乘法使用时的注意

　　第一点：用来解决两者之间的比例问题.

　　第二点：得出的比例关系是基数的比例关系.

　　第三点：总均值放中央,对角线上,大数减小数,结果放