勾股定理的种证明方法（部分）

　　【证法1】（梅文鼎证明）

　　做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.

　　∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,

　　∴∠EGF=∠BED,

　　∵∠EGF+∠GEF=90°,

　　∴∠BED+∠GEF=90°,

　　∴∠BEG=180º―90º=90º.

　　又∵AB=BE=EG=GA=c,

　　∴ABEG是一个边长为c的正方形.

　　∴∠ABC+∠CBE=90º.

　　∵RtΔABC≌RtΔEBD,

　　∴∠ABC=∠EBD.

　　∴∠EBD+∠CBE=90º.

　　即∠CBD=90º.

　　又∵∠BDE=90º,∠BCP=90º,

　　BC=BD=a.

　　∴BDPC是一个边长为a的正方形.

　　同理,HPFG是一个边长为b的正方形.

　　设多边形GHCBE的面积为S,则

　　,

　　∴.

　　【证法6】（项明达证明）

　　做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a）,斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上.

　　过点Q作QP‖BC,交AC于点P.

　　过点B作BM⊥PQ,垂足为M；再过点

　　F作FN⊥PQ,垂足为N.

　　∵∠BCA=90º,QP‖BC,

　　∴∠MPC=90º,

　　∵BM⊥PQ,

　　∴∠BMP=90º,

　　∴BCPM是一个矩形,即∠MBC=90º.

　　∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90º,

　　∠ABC+∠MBA=∠MBC=90º,

　　∴∠QBM=∠ABC,

　　又∵∠BMP=90º,∠BCA=90º,BQ=BA=c,

　　∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.

　　同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.

　　从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.

　　【证法7】（赵浩杰证明）

　　做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a）,斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.

　　分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG,

　　∵EF=DF-DE=b-a,EI=b,

　　∴FI=a,

　　∴G,I,J在同一直线上,

　　∵CJ=CF=a,CB=CD=c,

　　∠CJB=∠CFD=90º,

　　∴RtΔCJB≌RtΔCFD,

　　同理,RtΔABG≌RtΔADE,

　　∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE

　　∴∠ABG=∠BCJ,

　　∵∠BCJ+∠CBJ=90º,

　　∴∠ABG+∠CBJ=90º,

　　∵∠ABC=90º,

　　∴G,B,I,J在同一直线上,

　　从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.

　　【证法8】（欧几里得证明）

　　做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结

　　BF、CD.过C作CL⊥DE,

　　交AB于点M,交DE于点

　　L.

　　∵AF=AC,AB=AD,

　　∠FAB=∠GAD,

　　∴ΔFAB≌ΔGAD,

　　∵ΔFAB的面积等于,

　　ΔGAD的面积等于矩形ADLM

　　的面积的一半,

　　∴矩形ADLM的面积=.

　　同理可证,矩形MLEB的面积=.

　　∵正方形ADEB的面积

　　=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积

　　∴,即.