一元二次方程的解法

　　一、知识要点：

　　一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中数学的一个重点内容,也是今后学习数学的基础.

　　一元二次方程的一般形式为：ax^2（2为次数,即X的平方）+bx+c=0,(a≠0),它是只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程.

　　解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程.一元二次方程有四种解法：

　　1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法.

　　二、方法、例题精讲：

　　1、直接开平方法：

　　直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程,其解为x=±m.

　　例1．解方程（1）(3x+1)2=7（2）9x2-24x+16=11

　　分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做,（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2,右边=11>0,所以此方程也可用直接开平方法解.

　　(3x+1)2=7×

　　∴(3x+1)2=5

　　∴3x+1=±(注意不要丢解)

　　∴x=

　　∴原方程的解为x1=,x2=

　　2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)

　　先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c

　　将二次项系数化为1：x2+x=-

　　方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2

　　方程左边成为一个完全平方式：(x+)2=

　　当b2-4ac≥0时,x+=±

　　∴x=(这就是求根公式)

　　例2．用配方法解方程3x2-4x-2=0

　　将常数项移到方程右边3x2-4x=2

　　将二次项系数化为1：x2-x=

　　方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+()2=+()2

　　配方：(x-)2=

　　直接开平方得：x-=±

　　∴x=

　　∴原方程的解为x1=,x2=.

　　3．公式法：把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b2-4ac的值,当b2-4ac≥0时,把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根.

　　例3．用公式法解方程2x2-8x=-5

　　将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0

　　∴a=2,b=-8,c=5

　　b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0

　　∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)

　　∴原方程的解为x1=,x2=.

　　4．因式分解法：把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.