【如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点0是BC的中-查字典问答网

来自马建平的问题

　　【如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点0是BC的中点，D为AB上一动点，延长DO到E，且OE=OD，连接CE．（1）如图2，若D为AB的中点，请判断四边形EDAC的形状，并说明理由；（2）如图3，若∠A=60°，∠BOD=3】

　　如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点0是BC的中点，D为AB上一动点，延长DO到E，且OE=OD，连接CE．

　　（1）如图2，若D为AB的中点，请判断四边形EDAC的形状，并说明理由；

　　（2）如图3，若∠A=60°，∠BOD=30°，四边形EDAC是等腰梯形吗？请说明理由；

　　（3）若AC=15，AB=25，请在图4中作出点D的位置使四边形的EDAC周长最小，请补全图形并求出四边形的EDAC的最小周长．

1回答

2020-08-26 23:11

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申忠轩

　　（1）点0是BC的中点，即OC=OB，又OE=OD，∠EOC=∠DOB，∴△COE≌△BOD．

　　∴CE=DB，∠E=∠EDB，

　　∴CE∥AB，而D为AB的中点，

　　∴CE=AD，由平行四边形判别定理可得EDAC为平行四边形．

　　（2）由（1）可知CE∥AB，

　　∴四边形EDAC是梯形，

　　在Rt△ABC中，∠A=60°，

　　∴∠B=30°，

　　又∵∠BOD=30°，

　　∴∠EDA=60°=∠A，

　　∴四边形EDAC是等腰梯形．

　　（3）根据图1、2、3可知，CE与BD的等长的，所以只有当ED是最小的，才会使得四边形EDAC的周长最小，故只有当ED⊥AB时才会令四边形EDAC周长最小．

　　对于Rt△ABC，由勾股定理求得BC=20，

　　∴BO=10

　　∵∠B=∠OCE，∠ODB=∠E=90°，

　　∴△BOD∽△BAC，

　　∴BOBA

2020-08-26 23:13:59