（1）∵抛物线L过（0,4）和（4,4）两点,由抛物线的对称性知对称轴为x=2,

　　∴G（2,0）,

　　将（2,0）、（4,4）代入y=ax2+bx+4,

　　得{4a+2b+4=016a+4b+4=4,

　　解得{a=1b=-4,

　　∴抛物线L的解析式为y=x2-4x+4．

　　（2）∵直线y=3x+3分别交x轴、y轴于B、A两点,

　　∴A（0,3）,B（-3,0）．

　　若抛物线L上存在满足的点C,则AC∥BG,

　　∴C点纵坐标此为3,

　　设C（m,3）,

　　又∵C在抛物线L,代入解析式：（m-2）2=3,

　　∴m=2±3．

　　当m=2+3时,BG=2+3,AG=2+3,

　　∴BG∥AG且BG=AG,

　　此时四边形ABGC是平行四边形,舍去m=2+3,

　　当m=2-3时,BG=2-3,AG=2-3,

　　∴BG∥AG且BG≠AG,

　　此时四边形ABGC是梯形．

　　故存在这样的点C,使得四边形ABGC是以BG为底边的梯形,其坐标为：

　　C（2-3,3）．

　　（3）假设抛物线L_1是存在的,且对应的函数关系式为y=（x-n）2,

　　∴顶点P（n,0）．

　　Rt△ABO中,AO=3,BO=3,

　　可得∠ABO=60°,

　　又∵△ABD≌△ABP．

　　∴∠ABD=60°,BD=BP=3+n．

　　如图,过D作DN⊥x轴于N点,

　　Rt△BND中,BD=3+n,∠DBN=60°,

　　∴DN=32（3+n）,BN=3+n2,

　　∴D（-3-3+n2,3+3n2）,

　　即D（-33+n2,3+3n2）,

　　又∵D点在抛物线y=（x-n）2上,

　　∴3+3n2=（-33+n2-n）2,

　　整理：9n2+163+21=0．

　　解得n=-3,n=-739,当n=-3时,P与B重合,不能构成三角形,舍去,

　　∴当n=-739时,此时抛物线为y=（x+739）2．