方法一：假设根号3=p/q(p、q为互质整数）,则p^2=3q^2

　　所以3整除p^2,因3是质数,所以3整除p,可设p=3t,则q^2=3t^2,所以3整除q

　　因此p和q有公约数3,与p和q互质矛盾,所以根号3是无理数

　　方法二：设x=根号3,则有方程x^2=3

　　假设x^2=3有有理数解x=p/q(p、q为互质整数）,根据牛顿有理根定理p整除3,q整除1,所以p=1或3,q=1,从而x=1或3,显然x=1或3不是方程x^2=3的根,矛盾.

　　方法三：设x=根号3=p/q,(p,q)=1,所以存在整数s,t使ps+qt=1

　　根号3=根号3*1=根号3(ps+qt)=(√3p)s+(√3q)t=3qs+pt为整数,矛盾