山西大学附中

　　2011-2012高三4月月考数学参考答案（理科）

　　一．选择题

　　1-5DDCDC6-10CBDBC11-12AC

　　二．填空题：

　　13.14.15.16.1.2.4

　　三．解答题：

　　17.（1）由图像知,的最小正周期,故…（2分）

　　将点代入的解析式得,又

　　故所以………………4分zxxk

　　（2）由得

　　所以……………………6分

　　因为所以………………8分

　　……………………10分

　　……………………12分

　　18．（本小题满分12分）

　　（Ⅰ）证明：设为的中点,连接,则

　　∵,,,∴四边形为正方形,

　　∵为的中点,∴为的交点,

　　∵,,

　　∵,zxxk

　　∴,,

　　在三角形中,,∴,…………4分

　　∵,∴平面；…………5分

　　(Ⅱ)方法1：连接,∵为的中点,为中点,∴,

　　∵平面,平面,

　　∴平面.…9分

　　方法2：由(Ⅰ)知平面,又,所以过分别做的平行线,以它们做轴,以为轴建立如图所示的空间直角坐标系,

　　由已知得,,,,,

　　,则,,,.∴∴∵平面,平面,zxxk

　　∴平面；…………9分

　　(Ⅲ)设平面的法向量为,直线与平面所成角,

　　则,即,解得,令,

　　则平面的一个法向量为,又

　　则,

　　∴直线与平面所成角的正弦值为.…………12分

　　19.(Ⅰ)设指针落在A,B,C区域分别记为事件A,B,C.

　　则……………………………………3分

　　若返券金额不低于30元,则指针落在A或B区域.

　　…………………………………5分

　　即消费128元的顾客,返券金额不低于30元的概率是.

　　（Ⅱ）由题意得,该顾客可转动转盘2次.

　　随机变量的可能值为0,30,60,90,120.……zxxk………6分

　　………………………………9分

　　所以,随机变量的分布列为：

　　0306090120

　　其数学期望

　　………………………12分

　　20.（Ⅰ）由题意知,椭圆离心率为,得,又,所以可解得,,所以,所以椭圆的标准方程为；所以椭圆的焦点坐标为（,0）,因为双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭圆的焦点,所以该双曲线的标准方程为.

　　21.（理）（本小题满分12分）

　　（Ⅰ）.依题意,令,解得.

　　经检验,时,符合题意.……4分

　　（Ⅱ）①当时,.zxxk

　　故的单调增区间是；单调减区间是.

　　②当时,令,得,或.

　　当时,与的情况如下：

　　↘

　　↗

　　↘

　　所以,的单调增区间是；单调减区间是和.

　　当时,的单调减区间是.

　　当时,,与的情况如下：

　　↘

　　↗

　　↘

　　所以,的单调增区间是；单调减区间是和.

　　③当时,的单调增区间是；单调减区间是.

　　综上,当时,的增区间是,减区间是；

　　当时,的增区间是,减区间是和；

　　当时,的减区间是；

　　当时,的增区间是；减区间是和.zxxk

　　……10分

　　（Ⅲ）由（Ⅱ）知时,在上单调递增,由,知不合题意.

　　当时,在的最大值是,

　　由,知不合题意.

　　当时,在单调递减,

　　可得在上的最大值是,符合题意.

　　所以,在上的最大值是时,的取值范围是.…………12分

　　22.如图,在Rt△ABC中,,BE平分∠ABC交AC于点E,点D在AB上,．

　　（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；

　　（2）若,求EC的长．

　　解（1）取BD的中点O,连接OE．

　　∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠OBE．又∵OB=OE,∴∠OBE=∠BEO,

　　∴∠CBE=∠BEO,∴BC∥OE．………………3分

　　∵∠C=90°,∴OE⊥AC,∴AC是△BDE的外接圆的切线．5分

　　（2）设⊙O的半径为r,则在△AOE中,

　　,即解得,7分

　　∴OA=2OE,∴∠A=30°,∠AOE=60°．∴∠CBE=∠OBE=30°．

　　∴EC=．…………10分

　　23选修4-4：坐标系与参数方程

　　（Ⅰ）以极点为原点,极轴为轴正半轴建立直角坐标系.----------------1分

　　---zxxk-----2分

　　所以,该直线的直角坐标方程为：----------------3分

　　（Ⅱ）圆的普通方程为：----------------4分

　　圆心到直线的距离---------------5分

　　所以,圆上的点到直线的距离的最小值为----------------7分

　　24选修4－5：不等式选讲

　　（Ⅰ）当时,

　　由,得,

　　①当时,不等式化为即

　　所以,原不等式的解为----------------1分

　　②当时,不等式化为即

　　所以,原不等式无解.----------------2分

　　③当时,不等式化为即

　　所以,原不等式的解为----------------3分

　　综上,原不等式的解为------zxxk-----4分

　　（说明：若考生按其它解法解答正确,相应给分）

　　（Ⅱ）因为关于的不等式有解,所以,----------------5分

　　因为表示数轴上的点到与两点的距离之和,

　　所以,----------------6分

　　解得,

　　所以,的取值范围为----------------7分