凹的意思是曲线的任意一段,中间部分要低于两端,用数学的表述就是：

　　【代数形式】F[LX1+(1-L)X2]<LF(X1)+(1-L)F(X2)【如令L=0.5,你就明白是怎么回事】

　　【几何形式】过X1、X2画弦,曲线总在弦下.

　　若曲线y=f(x)在区间I内凹,则曲线g=e^f(x)在I内也是凹的：

　　先说一下意思：曲线y=f(x)在区间I内凹,是说以X轴（一条平直线）为尺子看,f是凹的；

　　曲线g=e^f(x)在I内也是凹的,是说变换到以e^x(一条凹线)为尺子看,仍是凹的.【就比方你原来是一个大虾米（凹的f）,放到一个凹的哈哈镜e^x来看,仍是一个虾米像,不会变成大肚子蝈蝈像.但如放到一个凸的哈哈镜看,就有可能成为蝈蝈像（凸）,能否变蝈蝈,就要看虾米与凸镜谁的曲率高了】.

　　下面说一下证明：

　　G[LX1+(1-L)X2]=e^F(LX1+(1-L)X2)<e^[LF(X1)+(1-L)F(X2)]【因e^x是增函数,且F[LX1+(1-L)X2]<LF(X1)+(1-L)F(X2)】=G(X1)^L×G(X2)^(1-L)<LG(X1)+(1-L)G(X2)【加权算数-几何不等式】

　　2.证明与1部分类同,在X轴上方是ln函数的要求.