柯西中值定理:设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在（a、b）内可导,且g'(x)≠0(x∈(a,b)),则至少存在一点,ξ∈(a,b),使得f'(ξ)/g'(ξ)=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]成立.

　　f(x)＝sinx及g(x)=x＋cosx,在区间[0,兀／2]上连续,在（0,兀／2）内可导,且g'(x)≠0

　　构造F(x)=f(x)-f(0)-[f(π/2)-f(0)]*[g(x)-g(0)]/[g(π/2)-g(0)]=sinx-(x+cosx-1)/(π/2-1）

　　F(0)=F(π/2)=0

　　由罗尔定理知：存在ξ∈(0,π/2),使得F'(ξ)=0.

　　F'(x)=cosx-(1-sinx)/(π/2-1）,

　　F'(ξ)=cosξ-(1-sinξ)/(π/2-1）=0

　　cosξ/(1-sinξ)=1/(π/2-1)=[f(π/2)-f(0)]/g(π/2)-g(0)]

　　因此验证验证柯西中值定理的正确性