(1)令-(X-m)²+1=o得：

　　X=m+1或m-1.

　　此时A与B的距离为：(m+1)-(m-1)=2.

　　以AB当底,面积为3,则点C到原点的距离应为3.由y=-(x-m)²+1

　　=-x²+2mx-m²+1得:

　　c=1-m²

　　则有1-m²=3或-3.（+3舍去）

　　m²=4此时对称轴在Y轴右方,故m=2.

　　m+1=3m-1=1

　　则A和B坐标分别为：A(1,0)B(3,0).

　　(2)存在,m=2.理由：

　　B在原点右边、C在原点下边,则对称轴必在Y轴右边（m大于零）.此时B(m+1,0),C(0,1-m²).若BOC等腰,则需OB=OC,即m+1=-(1-m²).（无其他情形）.

　　解得m=2,m=-1(舍去)

　　（3）X轴上存在四个N点,使得三角形MHN与三角形AOC相似.

　　在（1）前提下,m=2,抛物线为:

　　y=-(x-2)²+1,顶点坐标为M(2,1),

　　易知C(0,-3),H(2,0).MH=1.

　　直角三角形AOC中,直角边AO=1,OC=3.

　　两直角边之比为3比1.

　　若满足相似,已知MH=1,必须有HN=1/3或HN=3.故N点坐标为：(-1,0)或(5,0)或(5/3,0)或(7/3,0).