【已知an=(n+1)²分之一(n=1,2,3,.-查字典问答网

来自李红松的问题

　　【已知an=(n+1)²分之一(n=1,2,3,...),记b1=2(1-a),b2=2(1-a)(1-a),...,bn=2(1-a1)(1-a2)...(1-an),则通过计算推测出bn的表达式bn=（?）（用含n的代数式表示）（最好符号标准一点过程详细我其他地方的看过了】

　　已知an=(n+1)²分之一(n=1,2,3,...),记b1=2(1-a),b2=2(1-a)(1-a),...,bn=2(1-a1)(1-a2)...(1-an),

　　则通过计算推测出bn的表达式bn=（?）（用含n的代数式表示）（最好符号标准一点过程详细我其他地方的看过了但看不懂

1回答

2020-09-24 21:38

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苏仲飞

　　由an=1/(1+n)^2,bn=2(1-a1)(1-a2)...(1-an),两式

　　可以推得：b1=3/4,b2=4/6,b3=5/8,b4=6/10

　　.可以推算bn=（n+2）/[2（n+1）]

　　证明：前面略

　　当k=n时,bn=2(1-a1)(1-a2)...(1-an)=（n+2）/[2（n+1）]

　　当k=n+1时,bn+1=2(1-a1)(1-a2)...(1-an)*（1-an+1）

　　=（n+2）/[2（n+1）]*[1-1/（n+2）^2]

　　=[(n+2)^2-1]/(2n+2)(n+2)

　　=(n+2-1)(n+2+1)/(2n+2)(n+2)

　　=(n+1)(n+3)/(2n+2)(n+2)

　　=（n+3）/2(n+2)

　　也就是当k=n+1时,bn+1=（n+3）/2(n+2)成立

　　所以原猜想成立

　　所以bn=（n+2）/[2（n+1）]

2020-09-24 21:42:14