三角函数基础知识

　　（划红线内容重点学习,其余部分建议学习）

　　1、任意角的三角函数

　　(1)任意角的三角函数的定义：角α的终边上任意一点p的坐标是(x,y),它与原点的距离是r(r＞0),那么角α的正弦、余弦、正切、余切分别是

　　(2)三角函数值的符号

　　正弦值与余割值对于第一、二象限的角是正的,而对于第三、四象限的角是负的．余弦值与正割值对于第一、四象限的角是正的,而对于第二、三象限的角是负的．

　　正切值与余切值对于第一、三象限的角是正的,而对于第二、四象限角是负的,也可以按正的在各象限的函数来记,即“一全、二正弦,三切、四余弦”(正割、余割分别与余弦、正弦符号相同)

　　2．同角三角函数的基本关系式

　　(1)倒数关系：sinαcsc=1cosαsecα=tgαctgα=1

　　(3)平方关系：sin2α+cos2α=11+tg2α=sec2α1+ctg2α=csc2α

　　3．诱导公式

　　(1)k·360°+α(k∈Z),-α,180°±a,360°-α的三角函数值等于α的同名函数值,前面加上一个把α角看成锐角时原函数值的符号,即

　　sin(k·360°+α)＝sinα,cos(k·360°+α)=cosα

　　tg(k·360°+α)=tgα,ctg(k·360°+α)=ctgα(k∈Z)

　　sin(-α)=-sinα,cos(-α)＝cosα

　　tg(-α)=-tgα,ctg(-α)=-tgα

　　sin(180°+α)=-sinα,cos(180°+α)=-cosα

　　tg(180°+α)=tgα,ctg(180°+α)=ctgα

　　sin(180°-α)=sinα,cos(180°-α)=-cosα

　　tg(180°-α)=-tgα,ctg(180°-α)=-ctgα

　　sin(360°-α)=-sinα,cos(360°-α)=cosα

　　tg(360°-α)=-tgα,ctg(360°-α)=-ctgα

　　(2)90°±α,270°±α的三角函数值等于a的余名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号,例如sin(90°+α)=cosα,tg(270°+α)=-ctgα

　　综上,诱导公式可概括为k·90°±α(k∈Z)的三角函数值,等于α的同名(k为偶数时)或余名(k为奇数时)的函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简称之为“奇余偶不变,符号看象限”．

　　4．三角函数的图象和性质

　　(1)三角函数线

　　以原点为圆心,以单位长为半径的圆叫做单位圆,如图2—3,设角α的终边与单位圆的交点为p,过p作PM垂直于x轴,垂足为M,A(1,0)、B(0,1),过A、B点作单位的切线AT、BS分别与角α的终边或其反向延长线交于T、S则有向线及MP、OM、AT、BS、OT、OS分别叫作角α的正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线．

　　(2)三角函数的图象

　　正弦函数y=sinx余弦函数y=cosx(如图2—4)

　　正切函数y=tgx余切函数y=ctgx(如图2—5)

　　(3)三角函数的周期

　　①周期函数

　　对于函数y=f(x),如果存在着一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都成立,那么就把函数y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期．

　　②最小正周期：对于一个周期函数来说、如果在所有的周期中存在着一个最小正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期．教科书上所指三角函数的周期均为最小正周期．

　　(4)三角函数的性质

　　5、积化和差与和差化积

　　（1）积化和差与和差化积各有四个公式,它们实质是一类公式的正用或逆用,即积化和差公式的逆用就是和差化积公式.这些公式既是重点,又是难点,只有掌握准确,才能熟练应用.

　　（2）积化和差公式是运用两角和、两角差的三角函数公式推导出来的,推导中用了“解方程组”的思想.

　　和差化积公式是从三角函数的积化和差的公式逆推出来的.推导中用了“换元”的思想.

　　我们要熟悉推导过程,掌握推导方法,这既有助于对公式的充分理解,又有助于运用公式解决问题.

　　（3）要注意寻找公式特征,掌握它们的异同点：即角、函数名称、函数间的运算、系数等方面的异同点.①只有系数绝对值相同的同名函数的和与差,才能运用公式化成和的形式.②如果是一正弦与一余弦的和或差,可先用诱导公式化成积的形式.

　　（4）对三角函数的和差化积,常因所采取的途径不同,而导致结果在形式上的差异,但结果实际上是一致的（如上例）.

　　“和差化积”不能只注意到化成“三角函数的积”,而忽略了答案的最简形式.例如,解如下习题：

　　把sin2α-sin2β化成积的形式.

　　解sin2α-sin2β=sin（α+β）·sin（α-β）

　　最后一步,往往会忽略丢掉,应予充分注意.

　　（5）把三角函数式化成积的形式,有时需要把某些数当成三角函

　　它为研究函数y=asinx+bcosx的性质提供了一条途径.辅助角φ终边所在

　　（7）所谓三角函数的和差化积是指：把“多项式”化为“单项式”而不影响原式的值的变形.因此四个和差化积公式的运用可分为以下几种类型：

　　①直接运用公式；

　　②经过简单变形后就可运用公式；

　　③设置辅助角,对形如asinx+bcosx型的三角函数式进行和差化积；

　　④“三项式”的和差化积问题,如把1+sinθ+cosθ化成积的形式.

　　6、两角和与差的三角函数

　　sin(α±β)=sinαcosαβ±cosαsinβ