已知二次函数y＝aX＾2＋bX＋c的图象交x轴于

　　A．B两点,交y轴于C点,且△ABC是直角三角形,

　　请写出符合要求的二次函数的解析式.

　　由简单作图不难发现,满足要求的抛物线与X轴的交点

　　A和B,必须分置于Y轴的两侧.即方程Y=0的两个根必须异号.

　　设A(m,0),B(n,0),C(0,C),其中m0,且AC^2+BC^2

　　=AC^2,即(m^2+c^2)+(n^2+c^2)=(n-m)^2.

　　即C^2=-mn,于是c=±√(-mn).(1)

　　令y=ax^2+bx+c=0,则:

　　m+n=-b/a.(2)

　　mn=c/a.(3)

　　由(1)得mn=-C^2,代入(3)式得-C^2=C/a,

　　即c(c+1/a)=0,∴c=0(应舍去,否则A,B,C三点中有两点重

　　合,从而不能构成三角形),或a=-1/c=-1/√(-mn)(此时c=√(-mn))

　　或a=1/√(-mn)(此时c=-√(-mn)).

　　于是b=-a(m+n)=(m+n)/√(-mn)(此时c=√(-mn))

　　或b=-a(m+n)=-(m+n)/√(-mn)(此时c=-√(-mn)).

　　故得抛物线方程为:

　　y=[-1/√(-mn)]x^2+[(m+n)/√(-mn)]x+√(-mn)

　　={[x/√(-m)]+√(-m)}{[-x/√n]+√n}.(4)

　　或y=[1/√(-mn)]x^2-[(m+n)/√(-mn)]x-√(-mn)

　　={[x/√(-m)]+√(-m)}[(x/√n)-√n].(5)

　　例.取m=-2,n=8.则有抛物线:

　　y=(-1/4)x^2+(3/2)x+4

　　=(-1/4)(x^2-6x)+4=(-1/4)[(x-3)^2-9]+4

　　=(-1/4)(x-3)^2+25/4

　　于是A(-2,0),B(8,0),C(0,4)

　　AB^2=(8+2)^2=100

　　AC^2=(-2)^2+4^2=20

　　BC^2=8^2+4^2=80

　　AC^2+BC^2=20+80=100=AB^2.

　　显然,△ABC是直角三角形,C为直角.

　　因此只要任选m0,代入(4)或(5)就能得到一个满足题目

　　要求的抛物线方程.