反导数,即不定积分的求法,是求导数的逆过程

　　当你学了求导数后,就会求积分了

　　不定积分的主要求法：

　　第一换元法：

　　包括显式代入法和隐式代入法

　　显式代入法,即令t=...g(x),dt=...g(x)dx这种的形式,主要是化简积分式子

　　隐式代入法,即凑微分法,利用微分的原理进行隐性代入

　　例如∫√(1+x)dx=∫√(1+x)d(1+x),过程中可看到dx变为d(1+x)

　　这是微分法,d(1+x)=(1)'dx+(x)'dx=0+(1)dx=dx

　　第二换元法：主要是用三角函数代入法以达到消除根号的效果

　　对于√(a²-x²)、1/√(a²-x²)、√(a²-x²)/x等等,令x=a*sinθ或x=a*cosθ

　　对于√(a²+x²)、1/√(a²+x²)、√(a²+x²)/x等等,令x=a*tanθ或x=a*cotθ

　　对于√(x²-a²)、1/√(x²-a²)、√(x²-a²)/x等等,令x=a*secθ或x=a*cscθ

　　如果被积函数中有复杂的三角函数,如sinθ/(sin²θ+cos³θ),可考虑用万能代换u=tan(x/2)

　　但要注意第三个代入法,即令x=a*secθ或x=a*cscθ,他们的反函数都是断续的,需分区间讨论

　　分部积分法：这是透过导数的乘法法则而来的

　　即∫vdu=uv-∫udv的形式,目地是能对复杂部分的被积函数求导以进行化简

　　通常第一步是凑微分,例如∫xcosxdx=∫xdsinx=xsinx-∫sinxdx

　　但有些则直接用,例如∫lnxdx=xlnx-∫xd(lnx)=xlnx-∫dx

　　根据规则反对幂指三来做,即

　　反三角函数：arcsin(x),arctan√[x-√(1-x²)],arcsec(x/2)等

　　对数函数：lnx,ln[x+√(1+x²)],log_7(8x)等

　　幂函数：x³,x^(8a),x^(17)等

　　指数函数：e^(6x),a^(5x)等

　　三角函数：sinx,tan(8x),sec(7x)

　　反三角函数最复杂,所以做v,而三角函数最简单,所以做u

　　有些积分会出现循环现象,只需移位即可,例如

　　∫e^x*cosxdx=∫e^xdsinx=e^x*sinx-∫sinxde^x=e^x*sinx-∫e^x*sinxdx

　　=e^x*sinx-∫e^xd(-cosx)=e^x*sinx+e^x*cosx-∫cosxde^x

　　=e^x*sinx+e^x*cosx-∫e^x*cosxdx,可见∫e^x*cosxdx与原先的积分重复了,所以移到等号左边

　　2∫e^x*cosxdx=(sinx+cosx)*e^x,移到左边相加,然后两边都除以常数,使左边变回原式样子

　　∫e^x*cosxdx=(1/2)(sinx+cosx)*e^x+C,C为任意常数

　　有理积分法：即利用部分分式和待定系数法原理,将一个大分式拆解为数个小分式进行化简

　　例如求∫dx/[(x+1)(x²+1)],这样的形式很难求,于是采用有理积分法

　　设1/[(x+1)(x²+1)]=A/(x+1)+(Bx+C)/(x²+1),分子比分母少一次指数

　　右边通分得1/[(x+1)(x²+1)]=[A(x²+1)+(Bx+C)(x+1)]/[(x+1)(x²+1)]

　　分母相同,只看分子：1≡A(x²+1)+(Bx+C)(x+1),这是个恒等式,无论x代入什么数字,两边都相等

　　解法一：代入x=-1,1=A(2)+0,得出A=1/2

　　代入x=0,1=A+C=1/2+C,得出C=1/2

　　代入x=1,1=(1/2)(2)+(B+1/2)(2)=1+2B+1,得出B=-1/2

　　即1/[(x+1)(x²+1)]=1/[2(x+1)]+(-x+1)/[2(x²+1)]

　　所以∫dx/[(x+1)(x²+1)]=(1/2)∫dx/(x+1)+(1/2)∫(-x+1)/(x²+1)dx

　　解法二：1≡A(x²+1)+(Bx+C)(x+1),拆开括号

　　1=Ax²+A+Bx²+Cx+Bx+C,再将同类项组起

　　0x²+0x+1=(A+B)x²+(B+C)x+(A+C),再比较两边的系数,得

　　A+B=0

　　B+C=0

　　A+C=1

　　解方程,得：A=1/2,B=-1/2,C=1/2

　　所以1/[(x+1)(x²+1)]=1/[2(x+1)]+(-x+1)/[2(x²+1)]

　　要用的公式其实还有许多,有数百条,但上面的方法已经足够解一般的题目了.

　　求完不定积分,记住别忘了常数C,这个代表任意常数,要在题目给定足够的条件才能求得

　　例如给了一个坐标,再代入结果,就找到常数C的值了.