O为△ABC所在平面内一点,|向量OA|²+|向量-查字典问答网

来自刘金德的问题

　　O为△ABC所在平面内一点,|向量OA|²+|向量BC|²=|向量OB|²+|向量CA|²=|向量OC|²+|向量AB|²

　　求证：O为△ABC的垂心.

1回答

2020-09-26 14:38

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孙小波

　　证明：

　　|向量OA|²+|向量BC|²=|向量OB|²+|向量CA|²

　　∴|向量OA|²-|向量OB|²=|向量CA|²-|向量CB|²

　　∴(向量OA-向量OB)•(向量OA+向量OB)=(向量CA-向量CB)•(向量CA+向量CB)

　　即向量BA•(向量OA+向量OB)=向量BA•(向量CA+向量CB)

　　∴向量BA•(向量OA+向量AC+向量OB+向量BC)=0

　　即向量BA.2向量OC=0

　　即向量BA⊥向量OC

　　同理,向量BC⊥向量OA,向量AC⊥向量OB

　　∴O是△ABC的垂心.

2020-09-26 14:42:06