来自顾国昌的问题
【利用高斯公式计算曲面积分I=∫∫(∑)xdydz+ydzdx+zdxdy,其中∑为半球面z=√(R^2-x^2-y^2)的上侧】
利用高斯公式计算曲面积分I=∫∫(∑)xdydz+ydzdx+zdxdy,其中∑为半球面z=√(R^2-x^2-y^2)的上侧
1回答
2020-10-09 15:51
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胡仁伟
为了利用高斯公式,将目标曲面补成封闭的曲面,且方向向外侧,最后积分值减去这一部分即可.
目标曲面为半球面,补充半球面的底面部分,设为∑a.新形成的封闭曲面设为∑b.在底面时,z=0,dz=0.
则：原积分I=∫∫(∑b)xdydz+ydzdx+zdxdy-∫∫(∑a)xdydz+ydzdx+zdxdy
=∫∫∫3dV-0
=3V(半球)
=2πR^3.
2020-10-09 15:52:41
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