已知定点M(-1,0)N(3,0),动点P到原点O的距离与到点N的距离之比为1/2,直线l:y=kx+1与动点P的轨迹交与A,B两点.求向量MA点乘向量MB的取值范围.
已知定点M(-1,0)N(3,0),动点P到原点O的距离与到点N的距离之比为1/2,直线l:y=kx+1与动点P的轨迹交与A,B两点.求向量MA点乘向量MB的取值范围.
设P坐标是(x,y),则有OP:PN=1:2,即有PN=2OP
即有(x-3)^2+y^2=2x^2+2y^2
x^2+y^2+6x-9=0
(x+3)^2+y^2=18
设A(x1,y1),B(x2,y2).
y=kx+1代入P的轨迹中有(1+k^2)x^2+(6+2k)x-8=0
x1+x2=(-6-2k)/(1+k^2),x1x2=-8/(1+k^2)
向量MA=(x1+1,y1),MB=(x2+1,y2)
MA*MB=(x1+1)(x2+1)+y1y2=x1x2+(x1+x2)+1+(kx1+1)(kx2+1)
=(1+k^2)x1x2+(1+k)(x1+x2)+2
=-8+(1+k)(-6-2k)/(1+k^2)+2
=-6+(-6-2k-6k-2k^2)/(1+k^2)
=-6-(2k^2+8k+6)/(1+k^2)
=(-6-6k^2-2k^2-8k-6)/(1+k^2)
=(-8k^2-8k-12)/(1+k^2)
=-8-(8k+4)/(1+k^2)
设t=(8k+4)/(1+k^2),即有tk^2-8k+t-4=0
当t不=0时有判别式=64-4t(t-4)>=0
即有t^2-4t-16
诶？和下面那位最后结果都不一样？！