一个高中几何证明题因为不能上传图片,所以口叙述一下,高手们都可以想象出来吧在一个圆的圆上选不重合的四点,连接成一个非平行四边形非梯形的四边形,也就是内切四边形吧,然后延长其
一个高中几何证明题
因为不能上传图片,所以口叙述一下,高手们都可以想象出来吧
在一个圆的圆上选不重合的四点,连接成一个非平行四边形非梯形的四边形,也就是内切四边形吧,然后延长其中两条边,交于点A,再延长另外两条边交于点B,然后过A点做圆的两条切线,切线交圆于点C和D,怎样证明B,C,D共线?
用调和点列的方法较为容易但方法的掌握不在高中的要求内
下面采用简单的定理来证明比较麻烦
首先,设圆内接四边形为四边形ABCD,AB与DC交于点P,AD与BC交于点Q,过点Q做圆O的两条切线,切点分别为点E和点F.
再设AC与BD交于点R,下面来证明一个更强的结论：P、F、R、E共线.
设OQ交EF于L,PR交AQ于M,EF交AQ于点M',连结OF、OE、AL、OA、OD,并延长AL到S.
由Menelaus定理,
AB/BP×PC/CD×DQ/QA=1-------------------------------------------------------------------------------1
由Ceva定理,
AB/BP×PC/CD×DM/MA=1-------------------------------------------------------------------------------2
由1、2,
DM/MA=DQ/QA--------------------------------------------------------------------------------*
另一方面,
由射影定理,
QE^2=QL×QO----------------------------------------------------------------------------------------------3
由切割线定理,
QE^2=QD×QA----------------------------------------------------------------------------------------------4
由3,4,
QL*QO=QD*QA
所以O,L,D,A四点共圆