一道平面向量的证明题在△ABC中,任作一条直线l,分别交直线-查字典问答网

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　　一道平面向量的证明题在△ABC中,任作一条直线l,分别交直线AB,AC于D,E,若(向量AD)=x×(向量AB),(向量AE)=y×(向量AC),求证:1/x+1/y=3的充要条件是直线l恒过△ABC重心G.(原题无图)

　　一道平面向量的证明题

　　在△ABC中,任作一条直线l,分别交直线AB,AC于D,E,若(向量AD)=x×(向量AB),(向量AE)=y×(向量AC),求证:1/x+1/y=3的充要条件是直线l恒过△ABC重心G.

　　(原题无图)

1回答

2020-10-10 07:34

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陈传超

　　依题意,假设L就是过重心G的一条直线,若能证明出1/x+1/y=3也就能说明问题：1/x+1/y=3的充要条件是：直线L恒过△ABC重心G.

　　下面就证明过G的直线L能推导出1/x+1/y=3

　　延长AG交BC于M

　　由直线的向量形式的参数方程得：（打“向量”太麻烦,下面我都不打向量二字,写在前的表起点,写在后的表终点）AG=kAD+(1-k)AE

　　因为AD=xAB,AE=yAC

　　所以AG=kxAB+(1-k)yAC①

　　又G为三角形的重心,所以M为三角形的中线（即M为BC中点）

　　所以AM=1/2AB+1/2AC

　　且AG=2/3AM,得到AG=1/3AB+1/3AC②

　　所以由①②：1/3AB+1/3AC=kxAB+(1-k)yAC

　　所以1/3=kx,1/3=(1-k)y

　　消去k得1/x+1/y=3

　　希望我的回答你能满意!

2020-10-10 07:36:02