圆面积公式推导谁都知道S=圆周率×R^2.但谁会推导?所有书-查字典问答网

来自葛涛的问题

　　圆面积公式推导谁都知道S=圆周率×R^2.但谁会推导?所有书上都找不到.我要严谨的推导,不要想当然的.能用初等数学解决最好.实在不行的话,要用定积分也行,但最好别用参数方程.要严谨详细具

　　圆面积公式推导

　　谁都知道S=圆周率×R^2.但谁会推导?所有书上都找不到.我要严谨的推导,不要想当然的.能用初等数学解决最好.实在不行的话,要用定积分也行,但最好别用参数方程.要严谨详细具体一点,要能看得懂,能理解.吾甚惑之,

　　好像有点看得懂。我定积分没学好，弄不清楚，能否给个图，给个方程。积分变量最好不要换来换去ok?

1回答

2020-10-10 00:07

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李登业

　　用单位圆说明（r=1）

　　在第一象限中：

　　∫(1-x^2)^(1/2)*dx

　　=∫(1-sint*sint)^(1/2)*d(sint)(t从0到π/2)

　　=∫cost*cost*dt

　　=0.25*∫[1+cos(2t)]*d(2t)

　　=0.25*∫du+0.25*∫cosu*du(u从0到π)

　　=0.25π+0.25*(sinπ-sin0)

　　=0.25π

　　∴在四个象限中：

　　S=4*0.25π=π

2020-10-10 00:10:00