【如何从椭圆的一般方程求椭圆的五个参数已知椭圆一般方程为A*x^2+B*x*y+C*y^2+D*x+E*y+F=0,其中A,B,C,D,E,F,均不为0,现在要去求椭圆的中心坐标(x0,y0),椭圆的长半轴a,椭圆的短半轴b,以及椭圆长半轴与X】
如何从椭圆的一般方程求椭圆的五个参数
已知椭圆一般方程为A*x^2+B*x*y+C*y^2+D*x+E*y+F=0,其中A,B,C,D,E,F,均不为0,现在要去求椭圆的中心坐标(x0,y0),椭圆的长半轴a,椭圆的短半轴b,以及椭圆长半轴与X轴正向的夹角theta,该夹角定义为以X轴正向为始边,以椭圆长轴所在方向为终边,逆时针为正角,顺时针为负角,范围为〔－90度,90度〕.
也就是说如何用含A,B,C,D,E,F的代数式来表达x0,y0,a,b,theta这五个参数.
theta即θ;
当θ=0,中心在原点时,椭圆的方程为
X^2/a^2+Y^2/b^2=1;
用复数Z=X+i•Y表示该椭圆,若对椭圆旋转θ角,则椭圆上每一个点都乘以单位复数I=cosθ+i•sinθ即可.
即:ZI=(X•cosθ-Y•sinθ)+i•(Y•cosθ+X•sinθ);
再平移向量(X0,Y0),即再加上复数α=(X0,Y0)得
z=ZI+α
=(X•cosθ-Y•sinθ+x0)+i•(Y•cosθ+X•sinθ+y0)
则最终的椭圆为{
x=X•cosθ-Y•sinθ+x0;
y=Y•cosθ+X•sinθ+y0;
→{
X•cosθ-Y•sinθ=x-x0;①
Y•cosθ+X•sinθ=y-y0;②
用x,y表示X,Y:
①·cosθ+②•sinθ得
X=x•cosθ+y•sinθ-x0•cosθ-y0•sinθ;③
②·cosθ-①•sinθ得
Y=y•cosθ-x•sinθ-y0•cosθ+x0•sinθ;④
③④代入方程X^2/a^2+Y^2/b^2=1中得
（x•cosθ+y•sinθ-x0•cosθ-y0•sinθ）^2/a^2+(y•cosθ-x•sinθ-y0•cosθ+x0•sinθ）^2/b^2=1;
整理得:
=(cos^2θ/a^2+sin^2θ/b^2)•x^2
+2•sinθ•cosθ•(1/a^2+1/b^2)•xy
+(sin^2θ/a^2+cos^2θ/b^2)•y^2
+[(-2x0•cos^2θ-2y0•sinθ•cosθ）/a^2-(2x0•sin^2θ-2y0•sinθ•cosθ）/b^2]•x
+[(-2x0•sinθ•cosθ-2y0•sin^2θ）/a^2-(2x0•sinθ•cosθ-2y0•cos^2θ）/b^2]•y
+[(x0•cosθ+y0•sinθ）^2/a^2+(x0•sinθ-y0•cosθ）^2/b^2-1]
=0;
则对应A*x^2+B*x*y+C*y^2+D*x+E*y+F=0可得
A=cos^2θ/a^2+sin^2θ/b^2;
B=2•sinθ•cosθ•(1/a^2+1/b^2);
C=sin^2θ/a^2+cos^2θ/b^2;
D=(-2x0•cos^2θ-2y0•sinθ•cosθ）/a^2-(2x0•sin^2θ-2y0•sinθ•cosθ）/b^2;
E=(-2x0•sinθ•cosθ-2y0•sin^2θ）/a^2-(2x0•sinθ•cosθ-2y0•cos^2θ）/b^2;
F=(x0•cosθ+y0•sinθ）^2/a^2+(x0•sinθ-y0•cosθ）^2/b^2-1;
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