发现无理数就导致了第一次数学危机,而危机的解决也就促使逻辑的发展和几何学的体系化.

　　第二次数学危机是由无穷小量的矛盾引起的,它反映了数学内部的有限与无穷的矛盾.数学中也一直贯穿着计算方法、分析方法在应用与概念上清楚及逻辑上严格的矛盾.在这方面,比较注意实用的数学家盲目应用.而比较注意严密的数学家及哲学家则提出批评.只有这两方面取得协调一致后,矛盾才能解决.后来算符演算及δ函数也重复了这个过程,开始是形式演算、任意应用,直到施瓦尔兹才奠定广义函数论的严整系统.

　　对于第三次数学危机,有人认为只是数学基础的危机,与数学无关.这种看法是片面的.诚然,问题涉及数理逻辑和集合论,但它一开始就牵涉到无穷集合,而现代数学如果脱离无穷集合就可以说寸步难行.因为如果只考虑有限集合或至多是可数的集合,那绝大部分数学将不复存在.而且即便这些有限数学的内容,也有许多问题要涉及无穷的方法,比如解决数论中的许多问题都要用解析方法.由此看来,第三次数学危机是一次深刻的数学危机.