设外心O为坐标原点,向量OA=x,向量OB=y,向量OC=z,|OA|=|OB|=|OC|=R,则重心G使得向量OG=(x+y+z)/3,而向量AB=y-x,向量BC=z-y,向量CA=x-z,则a²+b²+c²+9d²=|y-x|²+|z-y|²+|x-z|²+9|(x+y+z)/3|²=2(|x|²+|y|²+|z|²)-2xy-2zy-2xz+[|x|²+|y|²+|z|²+2xy+2zy+2xz]=3(|x|²+|y|²+|z|²)=9R².注意,其中的xy,yz,zx都是指向量间的点积