为了记号简便,用α'表示α的转置.

　　向量α可视为1×n矩阵,而α'是n×1矩阵.

　　由矩阵乘法的结合律,有A²=(α'α)(α'α)=α'(αα')α.

　　而α‘α是1×1矩阵,也就是一个常数,设b=αα'.

　　则A²=α'(αα')α=bα'α=bA.

　　由此不难得到,对任意正整数k,成立A^k=b^(k-1)·A.

　　由α≠0,有r(α)=1,故线性方程组αX=0的基础解系有n-1个向量.

　　易见它们都满足AX=α'αX=0,即为A的属于特征值0的特征向量.

　　另一方面,Aα'=(α'α)α'=α'(αα')=bα',故α'(≠0)为A的属于特征值b的特征向量.

　　且由b=a1²+a2²+...+an²≠0,α'与属于特征值0的特征向量线性无关.

　　于是由αX=0的基础解系和α'为列向量组成的矩阵P可逆,并使得P^(-1)AP为对角阵.

　　根据上述结果,A的全部特征值为0(n-1重)和b.

　　因此A的特征多项式|λE-A|=(λ-b)λ^(n-1).

　　没错啊,b=∑ai²,所以(λ-b)λ^(n-1)=λ^n-bλ^(n-1)=λ^n-λ^(n-1)∑ai².拆成多个行列式相加应该也能做,就是把各列的λ拆出来.要点是如果有两列不含λ,则这两列线性相关.所以n-2次及以下的系数为0,而n-1次系数直接用完全展开式就能看出来.