设复数为a+bi,a,b为实数.

　　1,与自身共轭的复数

　　a+bi=a-bi,

　　b=-b,

　　2b=0,

　　b=0.

　　因此,与自身共轭的复数是实数.

　　2,与自身的平方共轭的复数

　　(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi

　　a+bi=a^2-b^2-2abi,

　　也即,

　　a=a^2-b^2,

　　b=-2ab.

　　若

　　b=0.

　　则,a=a^2,a(a-1)=0,

　　a=0或者a=1.

　　若

　　b不等于0.

　　则,1=-2a,a=-1/2.

　　b^2=a^2-a=1/4+1/2=3/4.

　　b=3^(1/2)/2,或者,b=-3^(1/2)/2.

　　综合,得,

　　a=0,b=0,与自身的平方共轭的复数为0,

　　或者,a=1,b=0,与自身的平方共轭的复数为1,

　　或者,a=-1/2,b=3^(1/2)/2,与自身的平方共轭的复数为[-1+i3^(1/2)]/2,

　　或者,a=-1/2,b=-3^(1/2)/2,与自身的平方共轭的复数为[-1-i3^(1/2)]/2.