幻方阵

　　幻方是什么呢?如下就是一个幻方,即将n*n（n>=3）个数字放入n*n的方格内,使方格的各行、各列及对角线上各数字之各相等.

　　我很早就对此非常感兴趣,也有所收获.

　　816

　　357

　　492

　　本数学模型于1999年9月26日构造.

　　奇阶幻方

　　当n为奇数时,我们称幻方为奇阶幻方.可以用Merzirac法与loubere法实现,根据我的研究,发现用国际象棋之马步也可构造出更为神奇的奇幻方,故命名为horse法.

　　偶阶幻方

　　当n为偶数时,我们称幻方为偶阶幻方.当n可以被4整除时,我们称该偶阶幻方为双偶幻方；当n不可被4整除时,我们称该偶阶幻方为单偶幻方.可用了Hire法、Strachey以及YinMagic将其实现,Strachey为单偶模型,我对双偶（4m阶）进行了重新修改,制作了另一个可行的数学模型,称之为Spring.YinMagic是我于2002年设计的模型,他可以生成任意的偶阶幻方.

　　在填幻方前我们做如下约定：如填定数字超出幻方格范围,则把幻方看成是可以无限伸展的图形,如下图：

　　Merzirac法生成奇阶幻方

　　在第一行居中的方格内放1,依次向左上方填入2、3、4…,如果左上方已有数字,则向下移一格继续填写.如下图用Merziral法生成的5阶幻方：

　　17241815

　　23571416

　　46132022

　　101219213

　　11182529

　　loubere法生成奇阶幻方

　　在居中的方格向上一格内放1,依次向左上方填入2、3、4…,如果左上方已有数字,则向上移两格继续填写.如下图用Louberel法生成的7阶幻方：

　　3039481101928

　　384779182729

　　466817263537

　　5141625343645

　　1315243342444

　　2123324143312

　　2231404921120

　　horse法生成奇阶幻方

　　先在任意一格内放入1.向左走1步,并下走2步放入2(称为马步),向左走1步,并下走2步放入3,依次类推放到n.在n的下方放入n+1（称为跳步）,再按上述方法放置到2n,在2n的下边放入2n+1.如下图用Horse法生成的5阶幻方：

　　77583920172533415

　　66849301173634425

　　16785940212645435

　　26769503112745545

　　36177960412236546

　　37278705132137556

　　47281880614223466

　　57381997152331476

　　67482910816243245

　　一般的,令矩阵[1,1]为向右走一步,向上走一步,[-1,0]为向左走一步.则马步可以表示为2X+Y,{X∈{[1,0],[-1,0]},Y∈{[0,1],[0,-1]}}∪{Y∈{[1,0],[-1,0]},X∈{[0,1],[0,-1]}}.对于2X+Y相应的跳步可以为2Y,-Y,X,-Y,X,3X,3X+3Y.上面的的是X型跳步.Horse法生成的幻方为魔鬼幻方.

　　Hire法生成偶阶幻方

　　将n阶幻方看作一个矩阵,记为A,其中的第i行j列方格内的数字记为a(i,j).在A内两对角线上填写1、2、3、……、n,各行再填写1、2、3、……、n,使各行各列数字之和为n*(n+1)/2.填写方法为:第1行从n到1填写,从第2行到第n/2行按从1到进行填写(第2行第1列填n,第2行第n列填1),从第n/2+1到第n行按n到1进行填写,对角线的方格内数字不变.如下所示为6阶填写方法：

　　154326

　　623451

　　123456

　　653421

　　624351

　　154326

　　如下所示为8阶填写方法（转置以后）：

　　18118881

　　72227727

　　63336366

　　54444555

　　45555444

　　36663633

　　27772272

　　81881118

　　将A上所有数字分别按如下算法计算,得到B,其中b(i,j)=n×（a(i,j)－1）.则AT＋B为目标幻方

　　（AT为A的转置矩阵）.如下图用Hire法生成的8阶幻方：

　　163656059588

　　5610111253541549

　　4118192045224748

　　3326272829383940

　　3239383637272625

　　2447434520461817

　　165054531211559

　　577626143264

　　Strachey法生成单偶幻方

　　将n阶单偶幻方表示为4m+2阶幻方.将其等分为四分,成为如下图所示A、B、C、D四个2m+1阶奇数幻方.

　　AC

　　DB

　　A用1至2m+1填写成(2m+1)2阶幻方；B用(2m+1)2+1至2*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；C用2*(2m+1)2+1至3*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；D用3*(2m+1)2+1至4*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；在A中间一行取m个小格,其他行左侧边缘取m-1列,将其与D相应方格内交换；B与C接近右侧m-1列相互交换.如下图用Strachey法生成的6阶幻方：

　　3516261924

　　3327212325

　　3192222720

　　82833171015

　　30534121416

　　43629131811

　　Spring法生成以偶幻方

　　将n阶双偶幻方表示为4m阶幻方.将n阶幻方看作一个矩阵,记为A,其中的第i行j列方格内的数字记为a(i,j).

　　先令a(i,j)=(i-1)*n+j,即第一行从左到可分别填写1、2、3、……、n；即第二行从左到可分别填写n+1、n+2、n+3、……、